Önhatványú számok

Nem régen feltettük a nem túl bonyolult kérdést: miért érdekes a

387 420 489

szám?

A válasz: azért, mert ez a legnagyobb szám, amely felírható két számjeggyel:

387 420 489 = 9⁹

Vannak emberek, akik, ha nincsenek jó kedvükben, semmiben sem látnak semmi érdekeset. Azokat szívből lehet sajnálni. Mi most őrizzük meg jó kedvünket, és próbáljunk még valami érdekeset látni ebben a számban!

Nos, nem csigázom az érdeklődést: az érdekes az, hogy 9⁹ rendesen kiírva kilenc számjegyből áll. Vajon jellemző lehet ez az nⁿ típusú számokra? Micsoda kellemes kezdet: 1¹ egy számjegyből áll. Elfog minket az izgalom…

Ám a sorozat nem úgy folytatódik, hanem helyben toporog. 2² is egy számjegyből áll. Ezt a hátrányt a továbbiakban nem is lehet ledolgozni – egészen a 8-ig. 8⁸ ugyanis 8 számjegyből áll.

10¹⁰-hez elég ugyan a 10 nulla, de számjegyből azért mégis 11 kell. Innentől kezdve viszont nincs megállás. E fölött nⁿ leírásához n-nél egyre nagyon számban kellene számjegyek. Ugyanakkor ez a szám nem ad egy szédületes haladványt. Monoton növekvő, de szelíden növekszik. Nem példákat adunk, hanem megmutatjuk az első 80 értékét. Érdekes sorozat. Hacsak nem rossz a kedve.

  

* * *

Barátságos szomszédok

Nincs két különbözőbb szám, mint két szomszédos szám (vagyis n és n+1 között, hogy éreztessük: a matematika területén vagyunk). Ha az egyik szám osztható egy harmadikkal, az biztos, hogy a szomszédja nem. És fordítva. Tökéletes antipódok.

De baj-e ez? Mit jelentenek végül is a számok tulajdonságai? A Föld n kilométerre van a Naptól, nem sokkal később ez a távolság n+1? Mindenki megkérdezheti: és akkor mi változott?

Nos, ez adja a matematika nagyszerűségét, hogy ilyen fölösleges kérdésekkel nem foglalkozik, hanem töretlenül vizsgál mindent, ami számok tulajdonságainak területén fellelhető.

Ezért mi is most vizsgáljuk meg a kérdést: nincs-e mégis valami, ami legalább egyes szomszéd számokat összekötne, mint ahogy például egy közös hobbi köt össze két szomszédot a városban.

Szerény érdem, de mégis valami, ha két szomszéd szám összege prím. Végül is ez nem minden egymást követő számnál adódik. Pl. 5 és 6 összege prím (11), de 7 és 8 nem az (15). Az ilyen számokat máris elnevezhetjük P-barát szomszédoknak. Misem egyszerűbb ezeket megtahározni: minden prím (és értelemszerűen csak azok) egyértelműen meghatároznak egy ilyen P-barát számpárt. Egyébként a tulajdonság némiképpen emlékeztethet a Goldbach-sejtésre (az egyik a páros számokról, a másik a prímszámokról állítja, hogy bizonyos két szám összegeként írható fel). A különbség annyi, hogy az első vélhetően bizonyíthatatlan sejtés, ám a számolatlan igaz esetekben többféleképpen oldható meg, a másik pedig egyszerűen bizonyítható tétel, amelynek a konkrét esetekben viszont egyetlen megoldása van.

Valamennyire hasonló tulajdonság az, ha a két szomszédos szám összege négyzetszám. Ekkor mondhatjuk, hogy a két szám Q-barát szám. Itt könnyű észrevenni, hogy két szomszédos szám összege soha nem adhat páros négyzetszámot, és ezt a komoly megfigyelést bátran általánosíthatjuk: bármily két szomszédos szám összege páratlan, ami meg is fordítható: minden páratlan szám felírható – éspedig egyértelmű módon – két szomszédos szám összegeként.

A szomszédok összegéből indulva vég nélkül határozhatunk neg különböző hasonló tulajdonságokat, de most nézzünk meg egy izgalmasabb lehetőséget. Ahogy említettük, minden két szomszéd szám totálisan különbözik osztóik vonatkozásában. De vajon lehetséges- hogy ennek ellenére saját összes osztóik száma legyen azonos (ezek lehetnének a D-barátok). A válasz igen, és nem is nehéz gyorsan akadni sz első, beleértve az első nem triviális példákra. Hiszen ilyen „triviális” módon már 2 és 3 is D-barátok.

Itt visszatérve a páros-páratlan kérdésre: könnyű észre venni, hogy a P és D-barát számok hol párosok, hol páratlanok, és erre vonatkozóan vélhetően érdemi szabályosság nem fedezhető fel Ellenben a Q-barát számok mind osztható 4-gyel (de nem mindig 8-cal).

A témát folytatjuk. Szívesen közlünk mások ezzel kapcsolatos eredményeit is.

Végül megadjuk a fenti három tulajdonságnak megfelelő első száz-száz számot

P-barát számok: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20, 21, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 41, 44, 48, 50, 51, 53, 54, 56, 63, 65, 68, 69, 74, 75, 78, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 96, 98, 99, 105, 111, 113, 114, 116, 119, 120, 125, 128, 131, 134, 135, 138, 140, 141, 146, 153, 155, 156, 158, 165, 168, 173, 174, 176, 179, 183, 186, 189, 191, 194, 198, 200, 204, 209, 210, 215, 216, 219, 221, 224, 228, 230, 231, 233, 239, 243, 245, 249, 251, 254, 260, 261, 270, 273

Q-barát számok: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420, 480, 544, 612, 684, 760, 840, 924, 1012, 1104, 1200, 1300, 1404, 1512, 1624, 1740, 1860, 1984, 2112, 2244, 2380, 2520, 2664, 2812, 2964, 3120, 3280, 3444, 3612, 3784, 3960, 4140, 4324, 4512, 4704, 4900, 5100, 5304, 5512, 5724, 5940, 6160, 6384, 6612, 6844, 7080, 7320, 7564, 7812, 8064, 8320, 8580, 8844, 9112, 9384, 9660, 9940, 10224, 10512, 10804, 11100, 11400, 11704, 12012, 12324, 12640, 12960, 13284, 13612, 13944, 14280, 14620, 14964, 15312, 15664, 16020, 16380, 16744, 17112, 17484, 17860, 18240, 18624, 19012, 19404, 19800, 20200

D-barát számok: 1, 2, 14, 21, 26, 33, 34, 38, 44, 57, 75, 85, 86, 93, 94, 98, 104, 116, 118, 122, 133, 135, 141, 142, 145, 147, 158, 171, 177, 189, 201, 202, 205, 213, 214, 217, 218, 230, 231, 242, 243, 244, 253, 285, 296, 298, 301, 302, 326, 332, 334, 344, 374, 375, 381, 387, 393, 394, 429, 434, 445, 446, 453, 481, 501, 507, 514, 526, 537, 542, 548, 553, 565, 603, 604, 609, 622, 633, 634, 645, 663, 664, 694, 697, 698, 706, 717, 724, 735, 741, 745, 766, 776, 778, 782, 793, 802, 805, 817, 819

* * *

Feladat 1. – Van-e két prím…

Létezik-e két a és b prím, hogy x²-ax+b=0 egyenletnek megoldása (két) egészszám?

* * *

MX-számok

A 2ⁿ-1 formájú számok imponálnak a forma extrém egyszerűségével, miközben régóta felbukkannak különböző izgalmas témáknál, mint pl. a prímszámoknál vagy a tökéletes számoknál. Idővel viszont lassan egy valóságos kultusz kezdett kialakulni az ilyen számok iránt, amiben kétségtelenül jelentős szerepe volt Marton Mersenne francia matematikusnak. Ezt később az utókor azzal hálálta meg, hogy róla nevezte el ezeket a számokat.

A Mersenne-számokról már az ókori matematikusok is tudták, hogy „gyakran” (de azért nem annyira gyakran) prímszámok. Ami viszont igazán érdekes, de mondhatjuk azt is, hogy bámulatos, az a tény, hogy ha 2ⁿ-1 prím, akkor n is prím! Fordítva nem igaz, vagyis van (sok olyan) prím n, hogy 2ⁿ-1 nem prím. Ettől függetlenül ez az összefüggés jó módszernek tűnt abban az esetben, ha prímszámokra vadászunk. Az emberek pedig évezredek óta vadásznak prímszámokra, és talán kissé meglepő módon, ma egyre nagyobb hévvel.

Természetesen a fenti összefüggés nem tűnik hatékony módszernek az egyik irányban, ti. az, hogy ha rábukkantunk egy új prímre, nézzük meg Mersenne-szám-e az, és akkor abban mi a 2 hatványa (hiszen akkor az biztosan prím). Több értelme van a fordított eljárásnak, még akkor is, ha különösebb hatékonyságról kár beszélni. Mégis, amióta elterjedtek a számítógépek, szinte tömegsporttá vált a „következő” Mersenne-prím keresése.

Ilyen számítógépes prímvadászat 1952 óta zajlik és az ebbe bevont népes közösség precízen követi nyomon, hogy ki mikor fedezett fel újabb (rendszerint egyre nagyobb) Mersenne-prímet, csakhogy közben senki nem tudja, hogy hány prím, ezen belül hány Mersenne-prím van az előző és az újabb rekorder között. Így ez a mozgalom lassan valóban inkább sport, szabadidő-eltöltés, mint tiszta matematika. De sznobok ne legyünk. Végül minden, ami ezzel a sporttal kapcsolatos visszahathat a legtisztább matematikára is.

Nos, nem állítom, hogy ez a bizonyos sport (közelebbi megismerését mindig halasztgatom), de a Mersenne-számok kultusza máris visszahatott rám. Az eredmény: a Mersenne-szám fogalmának általánosítása.

Valóban, miért csak a 2 alapú hatványokkal dolgozzunk?

Erre valóban semmi nem kényszerít minket, de nyomban felmerül egy probléma: a a prímvadászat továbbra is lebegni szeretne lelki szemeink előtt, olyan képlet, hogy xⁿ-1, nem sok jót ígérne, ha x páratlan. Vagyis két különböző formában kellene általánosítani a Mersenne-számokat:

- ha x páratlan, xⁿ-2.

- ha x páros, xⁿ-1

általánosított Mersenne-szám, illetve Mx-szám.

Szerencsére a szokásos matematikai jelölésrendszer lehetőséget ad a két definíció „összevonására:

Legyen x és n két természetes szám, akkor Mx(n)=xⁿ-n(mod 2)-1 egy (az n-edik) Mx-szám. Vagyis innentől kezdve Mersenne-számok helyett Mx-számokról beszélhetünk.

Bárki megkérdezheti: miért? Ennek ezer oka lehet, és senkinek nincs joga ebben megzavarni a matematikai kutatás örömteli munkáját. Én most többre nem is szeretnék vállalkozni, mint szemügyre venni, mit ígérnek ezek az új pályák a prímvadászatban? Találunk-e gyorsabban és több prímet, ha M3-számokon indulunk el, mint ahogy eddig tették, szinte kizárólag az M2-pályán. És ott van az M4, M5, M11, M31 stb.

Egy pálya helyett végtelen sok pálya áll előttünk, és az semmiképpen nem mellékes (a sportolók számára végképp), hogy ezeken az új pályákon jóval gyorsabban jutunk magasabbra.

De jók ezek az új pályák? Mindegyik?

Ez egyáltalán nem értelmetlen kérdés, ellenkezőleg, nyomban érdekességekkel szolgál. Ám fontos a kérdés jó megfogalmazása. Az első, amit érdemesnek tűnt tisztázni: ha egy adott x mellett nézzük az Mx(n) sorozatot, tartalmaz-e az prímszámot? És ha igen, melyik az első prím? Vagyis egészen precízen: melyik a legkisebb n, amikor Mx(n) prím?

Ez viszont egy x-től függő egészszámú sorozatot ad. Nem volt kiszámítani az első eredményeket, és így bejelenteni az OEIS-be. Ez megtörtént, és most ez a sorozat ott A332029 szám alatt megtalálható, a következő értékekkel.

Az OEIS-ben található értékek többsége Jinyuan Wangtól származik. Köszönöm értékes segítségét.

De mit is mond ez a sorozat első rátekintésre?

Először is feltűnő, hogy a páras Mx-pályák egyáltalán nem kínálnak prímet. A másik feléről pedig azt látjuk, hogy „egyből” adnak ugyan prímet, de majd egy alaposabb vizsgálat mutatja ki hamar, hogy ez a készség megtévesztő, ugyanis ez az első prím egyben az utolsó is.

Jóval biztatóbb és meglepően változatos. A páratlan Mx-pályák egyből prímmel kezdődnek, negyede a kettes hatványnál szolgáltat prímet, a maradék megoszlik magasabb hatványok között. Ezeknél mindenképpen meglepő milyen gyorsan jelentkeznek „nehéz esetek”. Végül is 23^24, 79^38 nagyságrendjéről lehet sejtésünk. De ne legyenek előítéleteink: semmi nem bizonyítja, hogy a nehéz esetek közé sorolható Mx-pályák prímvadászat szempontjából kevésbé ígéretesek lennének.

* * *