Egy érdekes számprezentáció

A számprezentáció egy külön témakör a számelméletben. Elsősorban olyan szabályszerűségeket keres, hogy milyen formában lehet felérni a természetes számokat.

Számos nevezetes példa létezik, és bizonyára vég nélkül lehet keresni újakat. Ezeket különböző szempontok szerint lehet csoportosítani. Egyrészt fontos kérdés, hogy a szabály az összes természetes számra vonatkozik-e vagy csak egy részükre (és ez a rész mennyire „természetes” – vagy legalább végtelen-e). Talán a leghíresebb példa a Goldbach-sejtés, amely szerint minden páros szám felírható két prím összegeként. Ez nyilvánvalóan nem terjeszthető az összes természetes számra, vagyis a páratlanokra is, mert azok egy kisebb része igem nagyobb része nem írható fel két prím összegeként. (Természetesen, matematikában óvatosan kell jasználni azokat a minősítéseket, hogy „több” vagy „kevés”, mert pl. az utolsó példánál is az „igazság” az, hogy ilyen meg olyan páratlanokból is végtelen sok van. De ez egy egészen más téma.)

Nem meglepő módon bőven találtak már az összes természeetes számra is vonatkozó szabályszerűségeket, de ezek többnyire egy másik sajátosságot mutatnak: nem egyértelműek, ami a prezentáció struktőráját illeti. Erre is van egy nevezetes- bár nem olyan régen bizonyított – példa az, hogy minden természetes szám felírható legfeljebb négy négyzetszám összegeként. Vagyis felírható akár egy, akár több négyzetszám összegeként, de mindig van olyan felírás, amikor az összeadandók száma nem több négynél.

A nem egyértelműségnek van egy másik „dimenziója”, amikor egy adott szám többféleképpen írható fel az adott szabály szerint. Ez könnyen látható a Goldbach-sejtésnél, hiszen általában egy nagyobb páros szám sokféleképen írható fel prímek összegeként.

Végül említsük meg, hogy érthető módon az efféle szabályok többnyire nem 1-től érvényesek, hanem van egy „tehnikai” küszöb. A Goldbach-sejtésnél ez értelemszerűen a 4, de például a négyzetszámos szabály már 1-től érvényes.

Most pedig nézzünk meg egy vélhetően új sejtést (hiszen magam még nem találkoztam vele). E szerint minden (!) 3-nál nagyobb természetes szám felírható mint egy prím szám és egy négyzetszámmal szorzott prím összege. Vagyis minden 3-nál nagyobb n természetes szám esetén létezik p1 és p2 prímszám, továbbá q természetes szám, amelyekre igaz:

a = p₁ + q²*p₂

Gyorsan észre fogjuk venni, hogy sokszor a „megoldáshoz” elég ha q = 1. De ez távolról sincs így mindig (máskülönben a Goldbach-sejtés a páratlan számokra is érvényes lenne).

Az első tehát, amit hangsúlyozni kell, hogy ez a prezentáció mindem (3-nál nagyobb) természetes szám érvényes.

A másik igen fontos megjegyzés: a fenti állítás vélhetően ugyanannyira lehetetlen bebizonyítani, mint a Goldbach-sejtést.

Lássunk két példát ilyen prezentációra!

52 = 7 + 3²*5

83 = 3 + 4²*5

Ezzel a prezentációval egy sor észrevételt tehetünk, különösen, ha külön megvizsgáljuk a páras és a páratlan számok prezentációját. Pl. ha a szám páras, az összeg mindkét tagjának egyszerre párosnak vagy páratlannak kell lennie, de az egyetlen páras prím a 2 stb.

Kérdések is felvethetők, és nyomban az első ilyen fölöttébb meglepő eredményhez, sőt egy nagy feladványhoz vezetett. A kérdés pedig a következő: adott n mellett, melyik a lekisebb q természetes szám, amellyel, mint a prezentációban szereplő négyzet alapja megadható n reprezentációja. Mivel feltesszük, hogy megoldás mindig van, így e számok legkisebbikje mindig egyértelműen adott. Nos, tekintettel, hogy a Goldbach-sejtés igen nagy távon empirikusan meg van erősítve, kijelenthetjük, hogy minden páros n mellett a(n) = 1. De világos, hogy igyanaz a helyzet, ha n páratlan és n-2 prim.

Nem nagyon meglepő, hogy ha a(n) nem 1, akkor 2 lehet (kezdetben). Az viszont mégis csak furcsa, hogy „csak a(17) = 2.

Innentől kezdve viszont már aránylag sűrán előfordul, a továbbra is gyakori 1-esek között. És igen sokáig.

Az ember egyre türelmetlenebbül várja, mikor fog megjelenni a 3?

Kell is némi türelem, de siker jutalmazza: a(77) = 3!

Utána újra 1-esek és 2-esek, sokáig, sokáig, meglehetősen kiegyenlített erővel.

És itt a nagy bökkenő: hiába minden türelem, de nem hogy 4 és 5 stb. nem jön, de a 3 sem ismétlődik – legalább is addig, amíg a számítógépen eddig ellenőrizte. Ez ma 20 000 000…

Bevallom, számomra ez döbbenetes eredmény. A nagy kérdés: lehetséges-e, hogy a 77 „tévedés”, az egyes egyedül természetes szám, amelyre a(n) = 3? Lehetséges-e továbbá, hogy a(n) soha nem lehet nagyobb 3-nál.

Hajlok arra gondolni, hogy a fenti két kérdésre tagadó a válasz. De erre példák kellene.

Érdekes kérdés: ha az embernek ilyen monstre-feladványa van, hol kereshet segítséget? Nem biztos, hogy ehhez a feladathoz kvantum-számítógép kell, de vélhetően egy PC kevés.

 

* * *