A 2n-1 formájú számok
imponálnak a forma extrém egyszerűségével, miközben régóta felbukkannak
különböző izgalmas témáknál, mint pl. a prímszámoknál vagy a tökéletes
számoknál. Idővel viszont lassan egy valóságos kultusz kezdett kialakulni az
ilyen számok iránt, amiben kétségtelenül jelentős szerepe volt Marton Mersenne
francia matematikusnak. Ezt később az utókor azzal hálálta meg, hogy róla
nevezte el ezeket a számokat.
A Mersenne-számokról már
az ókori matematikusok is tudták, hogy „gyakran” (de azért nem annyira gyakran)
prímszámok. Ami viszont igazán érdekes, de mondhatjuk azt is, hogy bámulatos,
az a tény, hogy ha 2n-1 prím, akkor n is prím! Fordítva nem igaz,
vagyis van (sok olyan) prím n, hogy 2n-1 nem prím. Ettől függetlenül
ez az összefüggés jó módszernek tűnt abban az esetben, ha prímszámokra
vadászunk. Az emberek pedig évezredek óta vadásznak prímszámokra, és talán
kissé meglepő módon, ma egyre nagyobb hévvel.
Természetesen a fenti
összefüggés nem tűnik hatékony módszernek az egyik irányban, ti. az, hogy ha
rábukkantunk egy új prímre, nézzük meg Mersenne-szám-e az, és akkor abban mi a
2 hatványa (hiszen akkor az biztosan prím). Több értelme van a fordított
eljárásnak, még akkor is, ha különösebb hatékonyságról kár beszélni. Mégis,
amióta elterjedtek a számítógépek, szinte tömegsporttá vált a „következő”
Mersenne-prím keresése.
Ilyen számítógépes
prímvadászat 1952 óta zajlik és az ebbe bevont népes közösség precízen követi
nyomon, hogy ki mikor fedezett fel újabb (rendszerint egyre nagyobb)
Mersenne-prímet, csakhogy közben senki nem tudja, hogy hány prím, ezen belül
hány Mersenne-prím van az előző és az újabb rekorder között. Így ez a mozgalom
lassan valóban inkább sport, szabadidő-eltöltés, mint tiszta matematika. De
sznobok ne legyünk. Végül minden, ami ezzel a sporttal kapcsolatos visszahathat
a legtisztább matematikára is.
Nos, nem állítom, hogy ez
a bizonyos sport (közelebbi megismerését mindig halasztgatom), de a Mersenne-számok
kultusza máris visszahatott rám. Az eredmény: a Mersenne-szám fogalmának
általánosítása.
Valóban, miért csak a 2
alapú hatványokkal dolgozzunk?
Erre valóban semmi nem
kényszerít minket, de nyomban felmerül egy probléma: a a prímvadászat továbbra
is lebegni szeretne lelki szemeink előtt, olyan képlet, hogy xn-1,
nem sok jót ígérne, ha x páratlan. Vagyis két különböző formában kellene
általánosítani a Mersenne-számokat:
- ha x páratlan, xn-2.
- ha x páros, xn-1
általánosított
Mersenne-szám, illetve Mx-szám.
Szerencsére a szokásos
matematikai jelölésrendszer lehetőséget ad a két definíció „összevonására:
Legyen x és n két
természetes szám, akkor Mx(n)=xn-n(mod 2)-1 egy (az n-edik) Mx-szám.
Vagyis innentől kezdve Mersenne-számok helyett Mx-számokról beszélhetünk.
Bárki megkérdezheti:
miért? Ennek ezer oka lehet, és senkinek nincs joga ebben megzavarni a
matematikai kutatás örömteli munkáját. Én most többre nem is szeretnék
vállalkozni, mint szemügyre venni, mit ígérnek ezek az új pályák a prímvadászatban?
Találunk-e gyorsabban és több prímet, ha M3-számokon indulunk el, mint ahogy
eddig tették, szinte kizárólag az M2-pályán. És ott van az M4, M5, M11, M31
stb.
Egy pálya helyett
végtelen sok pálya áll előttünk, és az semmiképpen nem mellékes (a sportolók
számára végképp), hogy ezeken az új pályákon jóval gyorsabban jutunk
magasabbra.
De jók ezek az új pályák?
Mindegyik?
Ez egyáltalán nem
értelmetlen kérdés, ellenkezőleg, nyomban érdekességekkel szolgál. Ám fontos a
kérdés jó megfogalmazása. Az első, amit érdemesnek tűnt tisztázni: ha egy adott
x mellett nézzük az Mx(n) sorozatot, tartalmaz-e az prímszámot? És ha igen,
melyik az első prím? Vagyis egészen precízen: melyik a legkisebb n, amikor
Mx(n) prím?
Ez viszont egy x-től
függő egészszámú sorozatot ad. Nem volt kiszámítani az első eredményeket, és
így bejelenteni az OEIS-be. Ez megtörtént, és most ez a sorozat ott A332029
szám alatt megtalálható, a következő értékekkel.
Az OEIS-ben található
értékek többsége Jinyuan Wangtól származik. Köszönöm értékes segítségét.
De mit is mond ez a
sorozat első rátekintésre?
Először is feltűnő, hogy
a páras Mx-pályák egyáltalán nem kínálnak prímet. A másik feléről pedig azt
látjuk, hogy „egyből” adnak ugyan prímet, de majd egy alaposabb vizsgálat
mutatja ki hamar, hogy ez a készség megtévesztő, ugyanis ez az első prím egyben
az utolsó is.
Jóval biztatóbb és meglepően
változatos. A páratlan Mx-pályák egyből prímmel kezdődnek, negyede a kettes
hatványnál szolgáltat prímet, a maradék megoszlik magasabb hatványok között.
Ezeknél mindenképpen meglepő milyen gyorsan jelentkeznek „nehéz esetek”. Végül
is 23^24, 79^38 nagyságrendjéről lehet sejtésünk. De ne legyenek előítéleteink:
semmi nem bizonyítja, hogy a nehéz esetek közé sorolható Mx-pályák prímvadászat
szempontjából kevésbé ígéretesek lennének.
* * *
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése