2021. július 31., szombat
2021. július 9., péntek
Amikor az osztók száma nagyobb magánál a számnál
A
tény, hogy egy prím felírható két komplex egész nem triviális szorzataként
bizonyára sokak számára igen meglepő, akár döbbenetes is lehet.
Meglepő vagy nem, a tény igaz, és helyes lenne körbe járni. Hátha nem
minden prím „árulja el” ősi, építőkocka jellegét. Gyorsan be lehet látni. hogy
minden prím „áruló”. Mi több. látjuk, hogy minden prímszám meglepően
sokféleképpen írható fel nem triviális szorzatként. (Mellesleg teljesen igaza
lenne, ha valaki unná a meglepetés emlegetését, hiszen ez valóban nem
matematikai fogalom).
Lássunk egy példát! A népszerű 13 nem triviális osztóinak száma… 14!
-13+0i,
-3-2i, -3+2i, -2-3i, -2+3i, -1+0i, 0-13i, 0-1i, 0+1i, 0+13i, 2-3i, 2+3i, 3-2i, 3+2i
De ha erre képes a 13, miért csodálkozzunk, hogy a 12-nek 38 nem triviális
osztója akad a komplex egészek körében. Most mindenre felkészülve nézzük meg az
összes természetes szám nem triviális osztóinak számát 1 és 100 között! Ezek:
3, 10, 6, 18, 14, 22, 6, 26, 10, 46, 6, 38, 14, 22, 30, 34, 14, 34, 6, 78, 14, 22, 6, 54, 34, 46, 14, 38, 14, 94, 6, 42, 14, 46, 30, 58, 14, 22, 30, 110, 14, 46, 6, 38, 46, 22, 6, 70, 10, 106, 30, 78, 14, 46, 30, 54, 14, 46, 6, 158, 14, 22, 22, 50, 62, 46, 6, 78, 14, 94, 6, 82, 14, 46, 70, 38, 14, 94, 6, 142, 18, 46, 6, 78, 62, 22, 30, 54, 14, 142, 30, 38, 14, 22, 30, 86, 14, 34, 22, 178
Határozottan az az érzésem, hogy itt még rengeteg érdekesség vár ránk.
*
* *
2021. július 6., kedd
Egy drámai találkozás
Minden
prímszám felírható két egész szám nem triviális szorzataként, vagyis úgy hogy
egyik tényező sem 1 – ezt kellett észrevennem.
Bevallom, különleges élmény volt. Első hallásra ez valóban apokalipszis a
klasszikus számelméletben.
Feloldja a döbbenetet a helyzet apró részlete: a két egész szám, amelynek
szorzata adja a prímet, komplex egész szám:
(4+5i)(4-5i) = 41
Hasonló, vagyis (k+5i)(k-5i) számok között sok prímet találtam, számuk
bizonyos végtelen (de ez egyelőre maradjon hipotézis). Ezek:
29,
41, 61, 89, 281, 349, 509, 601, 701, 809, 1049, 1181, 1321, 1789, 2141, 2729,
3389, 4649, 5209, 5501, 5801, 8861, 9241, 9629, 10429, 11261, 11689, 12569,
15401, 15901, 17449, 17981, 18521, 19069, 21341, 21929, 23741, 24989, 26921,
27581, 33149, 39229, 40829, 41641, 42461, 45821, 46681, 52009, 53849, 55721,
59561, 68669, 71849, 79549, 80681, 86461, 87641, 91229, 94889, 97369, 98621,
99881, 101149, 107609, 111581, 112921, 114269, 116989, 118361, 126761, 128189,
133981, 135449, 139901, 145949, 147481, 149021, 153689, 156841, 158429, 169769,
173081, 174749, 179801, 181501, 186649, 190121, 195389, 197161, 198941, 204329,
209789, 226601, 228509, 234281, 252029, 254041, 264221, 266281…
Hasonló sorozatokat találunk, ha a fenti képlet az 5 helyébe bármilyen más
számot írunk be. Ami érdekes, az első négy esetben mind olyan sorozatot kapunk,
amely ismert az OEIS-ben – de nem az itt jelzett tulajdonság miatt, hanem a
kapcsolódó képlet kibontott formájára hivatkozva:
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 - https://oeis.org/A002144
2, 5, 17, 37, 101, 197, 257 - https://oeis.org/A002496
5,
13, 29, 53, 173, 229 - https://oeis.org/A005473
13, 73, 109, 409, 1033 - https://oeis.org/A138353
17, 41, 97, 137, 241, 457 - https://oeis.org/A243451
A fenti megfigyelés után egy sor izgalmas kérdés merült fel bennem. Ezek
többségére már meg is találtam a választ. Ezeket egy következő bejegyzésben
osztom meg.
*
* *
2021. július 1., csütörtök
A prímszámok legendája
Volt
egyszer egy legenda, mi szerint a 2, 3, 5, 7, 11 és még sok más szám prím,
vagyis 1-en és saját magán kívül más egész számmal nem osztható.
A legenda ma is tartja magát, de van egy hírem: nem igaz.
Sajnos, most még nem tudom biztosan megmondani, hogy minden legendabeli
prím összetett szám-e, illetve nincsenek-e ellenben újq eddig nem felfedezett
igazi prímek.
Gondolkozom, és ha vannak híreim, jelentkezem.
De addig is, hamarosan megosztok részleteket a legenda leleplezéséről.
*
* *