Barátságos szomszédok

Nincs két különbözőbb szám, mint két szomszédos szám (vagyis n és n+1 között, hogy éreztessük: a matematika területén vagyunk). Ha az egyik szám osztható egy harmadikkal, az biztos, hogy a szomszédja nem. És fordítva. Tökéletes antipódok.

De baj-e ez? Mit jelentenek végül is a számok tulajdonságai? A Föld n kilométerre van a Naptól, nem sokkal később ez a távolság n+1? Mindenki megkérdezheti: és akkor mi változott?

Nos, ez adja a matematika nagyszerűségét, hogy ilyen fölösleges kérdésekkel nem foglalkozik, hanem töretlenül vizsgál mindent, ami számok tulajdonságainak területén fellelhető.

Ezért mi is most vizsgáljuk meg a kérdést: nincs-e mégis valami, ami legalább egyes szomszéd számokat összekötne, mint ahogy például egy közös hobbi köt össze két szomszédot a városban.

Szerény érdem, de mégis valami, ha két szomszéd szám összege prím. Végül is ez nem minden egymást követő számnál adódik. Pl. 5 és 6 összege prím (11), de 7 és 8 nem az (15). Az ilyen számokat máris elnevezhetjük P-barát szomszédoknak. Misem egyszerűbb ezeket megtahározni: minden prím (és értelemszerűen csak azok) egyértelműen meghatároznak egy ilyen P-barát számpárt. Egyébként a tulajdonság némiképpen emlékeztethet a Goldbach-sejtésre (az egyik a páros számokról, a másik a prímszámokról állítja, hogy bizonyos két szám összegeként írható fel). A különbség annyi, hogy az első vélhetően bizonyíthatatlan sejtés, ám a számolatlan igaz esetekben többféleképpen oldható meg, a másik pedig egyszerűen bizonyítható tétel, amelynek a konkrét esetekben viszont egyetlen megoldása van.

Valamennyire hasonló tulajdonság az, ha a két szomszédos szám összege négyzetszám. Ekkor mondhatjuk, hogy a két szám Q-barát szám. Itt könnyű észrevenni, hogy két szomszédos szám összege soha nem adhat páros négyzetszámot, és ezt a komoly megfigyelést bátran általánosíthatjuk: bármily két szomszédos szám összege páratlan, ami meg is fordítható: minden páratlan szám felírható – éspedig egyértelmű módon – két szomszédos szám összegeként.

A szomszédok összegéből indulva vég nélkül határozhatunk neg különböző hasonló tulajdonságokat, de most nézzünk meg egy izgalmasabb lehetőséget. Ahogy említettük, minden két szomszéd szám totálisan különbözik osztóik vonatkozásában. De vajon lehetséges- hogy ennek ellenére saját összes osztóik száma legyen azonos (ezek lehetnének a D-barátok). A válasz igen, és nem is nehéz gyorsan akadni sz első, beleértve az első nem triviális példákra. Hiszen ilyen „triviális” módon már 2 és 3 is D-barátok.

Itt visszatérve a páros-páratlan kérdésre: könnyű észre venni, hogy a P és D-barát számok hol párosok, hol páratlanok, és erre vonatkozóan vélhetően érdemi szabályosság nem fedezhető fel Ellenben a Q-barát számok mind osztható 4-gyel (de nem mindig 8-cal).

A témát folytatjuk. Szívesen közlünk mások ezzel kapcsolatos eredményeit is.

Végül megadjuk a fenti három tulajdonságnak megfelelő első száz-száz számot

P-barát számok: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20, 21, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 41, 44, 48, 50, 51, 53, 54, 56, 63, 65, 68, 69, 74, 75, 78, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 96, 98, 99, 105, 111, 113, 114, 116, 119, 120, 125, 128, 131, 134, 135, 138, 140, 141, 146, 153, 155, 156, 158, 165, 168, 173, 174, 176, 179, 183, 186, 189, 191, 194, 198, 200, 204, 209, 210, 215, 216, 219, 221, 224, 228, 230, 231, 233, 239, 243, 245, 249, 251, 254, 260, 261, 270, 273

Q-barát számok: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420, 480, 544, 612, 684, 760, 840, 924, 1012, 1104, 1200, 1300, 1404, 1512, 1624, 1740, 1860, 1984, 2112, 2244, 2380, 2520, 2664, 2812, 2964, 3120, 3280, 3444, 3612, 3784, 3960, 4140, 4324, 4512, 4704, 4900, 5100, 5304, 5512, 5724, 5940, 6160, 6384, 6612, 6844, 7080, 7320, 7564, 7812, 8064, 8320, 8580, 8844, 9112, 9384, 9660, 9940, 10224, 10512, 10804, 11100, 11400, 11704, 12012, 12324, 12640, 12960, 13284, 13612, 13944, 14280, 14620, 14964, 15312, 15664, 16020, 16380, 16744, 17112, 17484, 17860, 18240, 18624, 19012, 19404, 19800, 20200

D-barát számok: 1, 2, 14, 21, 26, 33, 34, 38, 44, 57, 75, 85, 86, 93, 94, 98, 104, 116, 118, 122, 133, 135, 141, 142, 145, 147, 158, 171, 177, 189, 201, 202, 205, 213, 214, 217, 218, 230, 231, 242, 243, 244, 253, 285, 296, 298, 301, 302, 326, 332, 334, 344, 374, 375, 381, 387, 393, 394, 429, 434, 445, 446, 453, 481, 501, 507, 514, 526, 537, 542, 548, 553, 565, 603, 604, 609, 622, 633, 634, 645, 663, 664, 694, 697, 698, 706, 717, 724, 735, 741, 745, 766, 776, 778, 782, 793, 802, 805, 817, 819

* * *