Amikor az osztók száma nagyobb magánál a számnál

 

A tény, hogy egy prím felírható két komplex egész nem triviális szorzataként bizonyára sokak számára igen meglepő, akár döbbenetes is lehet.

Meglepő vagy nem, a tény igaz, és helyes lenne körbe járni. Hátha nem minden prím „árulja el” ősi, építőkocka jellegét. Gyorsan be lehet látni. hogy minden prím „áruló”. Mi több. látjuk, hogy minden prímszám meglepően sokféleképpen írható fel nem triviális szorzatként. (Mellesleg teljesen igaza lenne, ha valaki unná a meglepetés emlegetését, hiszen ez valóban nem matematikai fogalom).

Lássunk egy példát! A népszerű 13 nem triviális osztóinak száma… 14!

 

-13+0i, -3-2i, -3+2i, -2-3i, -2+3i, -1+0i, 0-13i, 0-1i, 0+1i, 0+13i, 2-3i, 2+3i, 3-2i, 3+2i

 

De ha erre képes a 13, miért csodálkozzunk, hogy a 12-nek 38 nem triviális osztója akad a komplex egészek körében. Most mindenre felkészülve nézzük meg az összes természetes szám nem triviális osztóinak számát 1 és 100 között! Ezek:

 

3, 10, 6, 18, 14, 22, 6, 26, 10, 46, 6, 38, 14, 22, 30, 34, 14, 34, 6, 78, 14, 22, 6, 54, 34, 46, 14, 38, 14, 94, 6, 42, 14, 46, 30, 58, 14, 22, 30, 110, 14, 46, 6, 38, 46, 22, 6, 70, 10, 106, 30, 78, 14, 46, 30, 54, 14, 46, 6, 158, 14, 22, 22, 50, 62, 46, 6, 78, 14, 94, 6, 82, 14, 46, 70, 38, 14, 94, 6, 142, 18, 46, 6, 78, 62, 22, 30, 54, 14, 142, 30, 38, 14, 22, 30, 86, 14, 34, 22, 178

 

Határozottan az az érzésem, hogy itt még rengeteg érdekesség vár ránk.

 

* * *

 

Prímszámok – négy sejtés

 

A prímszámokat – joggal – tartjuk az összes szám elemi részecskéjének. Közben az a helyzet, hogy a számokról (majdnem) minden tudunk, éspedig precízen, de magukról a prímszámokról csak számolásokkal nyert „empirikus” ismereteink és különféle hipotéziseink vannak. Mintha valami elzárna a mindenható elméleti kutatás útjait a misztikus prímekhez. Bár ez egy másik téma (amelyre érdemes lesz visszatérni.)

Most négy összefüggő hipotézist vennénk szemügyre, a kapcsolódó „empirikus” ismeretekkel.

Jól ismert fogalom az ikerprím. Itt arra kell ügyelni, hogy maga a terminus alkalmazható egy számra is, számpárra is, és ez odafigyelést igényel. Tehát, egy n szám ikerprím, ha prím és vagy n-2 vagy n+2 is prím. Vagyis n „közelében” van egy másik prím. Két n és m szám pedig akkor ikerprím vagy ikerprímpár, ha mind a kettő prím és n-m=2 vagy m-n=2. A témát és a megfogalmazásokat elbonyolíthatja a prímek furcsa kezdete (2, 3, 4, 5, 7). Ez a „furcsa kezdet” is egy külön téma (amelyre szintén érdemes visszatérni). Most annyival intézhetjük a dolgot, ha a ikerprímszámokat 5-től kezdve számoljuk. És valóban, az első „rendes” ikerpárok: (5,7), (11,13), (17,19) stb.

Nos, ezek az ikerprímek hatalmas érdeklődést váltanak ki, sokan foglalkoznak velük, sokat lehet ezekről olvasni. De vajon, milyenek a nem ikerprímszámok? Sokszor, ha van egy kiemelt aleset, mellette több más is lehet, de itt nem ez a helyzet (hanem olyan, mint a párosszám fogalmánál: ha egy szám nem páros, akkor páratlan, és ennyi). Valóban, ha egy prímszám „közelében” nincs egy másik prím, akkor nincs, és ennyi. Jogosnak látszik az ilyen prímeket egykének vagy magányosnak hívni. Vagyis minden prím vagy iker, vagy magányos, harmadik eset nincs. Az első – számtanban reflexszerű kérdés az, hogy ezekből végtelen sok van? Nos, erre ne nagyon várjunk elméleti, bizonyítható eredményt. Hipotézisünk viszont lehet.

 

H1 (Kis ikerprím hipotézis) Végtelen sok ikerprím létezik.

 

H2 (Kis egykeprím hipotézis) Végtelen sok egykeprím létezik.

 

Az első hipotézis régóta ismert, bizonyára már akkor megfogalmazhatták, amikor először beszéltek ikerprímekről. Csupán annyi fűzhető hozzá, hogy sokan próbálkoztak a bizonyításával, és gyakran részeredményekről számolnak be (egy öreglány ostromlásának részeredménye az is lehet, hogy ő már félig szűz, de itt még messze vagyunk ettől). A kérdés viszont valóban érdekes, mert az állítás semmiképpen nem mondható nyilvánvalónak.

Ezzel szemben a H2 hipotézis kétségbe vonása színtiszta abszurditás lenne. Bárki joggal mondhatja: ez az állítás végtelenül triviális. Valóban. Ránézésre. De tessék bebizonyítani! Én ugyanolyan reménytelennek látom ennek az állításnak a bizonyítását, mint a H1-é, és éppen ezért meg is érdemli az írásos hipotézis státuszt. Közben nem zárom ki, hogy ez ebben a formában először lett leírva.

Most menjünk tovább e két állatfaj vizsgálatában.

Kézenfekvő és jogos kérdés: ha ez a kétfajta prímszám va, és vélhetően mind a kettőből végtelen sok van, hogyan oszlanak ezek? Nyomban szembetűnik, hogy az ikrek erősen indulnak: az 5-tel kezdődő hat prím mind iker, de 100-ig nézve is szép számban vannak. Legelőször viszont rögzítsük, hogy leszámítva az indulási kuriózumot, ahol 3, 5 és 7 három egymást követő iker, hármas ikrek nincsenek, ami – könnyen – bizonyítható.

 

Lemma 1. Ha p és p+1 prím, p+3 nem prím.

 

Ebből az adódik, hogy minden ikerprímpár után kell „pihenő”. Rendben van, jöjjön a pihenő, de a pihenő önmagában nem dönti el, hogy utána iker vagy egyke következik. Pl. 7 után iker, 19 után egyke következik. Ebben vegyül is nincs semmi meglepő, hogy az ikerprímpárok csoportokat alkothatnak. Nem túl nehéz feltérképezni ezeket. Így készíthetünk olyan sorozatokat, amelyek beazonosítják (első tagjukkal) a különböző csoportokat. Nehezebb kérdés az, hogy mekkorák lehetnek ezek a csoportok. Teljesen érthető, hogy minél nagyobb ilyen csoportokat keresünk, annál ritkábban találunk ilyeneket. És itt meglepően gyorsan jelentkeznek a nehézségek. Már az 5 ikerprímpárból álló csoportok felfedezése is hatékony számítástechnikai segítséget igényel. Jelenleg a kutató verseny a 10-es csoportoknál akadt el. Persze, nem lehet kétségünk, hogy az egyre nagyobb számítógépjeink további haladást érnek el, felfedezzük 11-es és 12-es csoportokat, de ezeknek a tagjai már felfoghatatlan számok.

Mégis, az emberi elme ennyivel nem ér be. Az a kérdés: bármilyen n szám esetén, létezik-e n ikerprímpárt tartalmazó csoport? Erre se számítsunk elméleti eredményre, de legyen bátorságunk megfogalmazni a harmadik hipotézist is:

 

H3 (Nagy ikerhipotézis) Bármilyen természetes n számhoz létezik n-tagú ikerprímpár-csoport.

 

Mielőtt tovább mennénk, tekintsünk néhány idekapcsolódó sorozatot

Az ikerprímpárok kezdő számai:

3, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 227, 239, 269, 281, 311, 347, 419, 431, 461, 521, 569, 599, 617, 641, 659, 809, 821, 827, 857, 881, 1019, 1031, 1049, 1061, 1091, 1151, 1229, 1277, 1289, 1301, 1319, 1427, 1451, 1481, 1487, 1607 (OEIS: A001359)

 

A kettes ikerprímpár-csoportok kezdő számai:

5, 11, 101, 137, 179, 191, 419, 809, 821, 1019, 1049, 1481, 1871, 1931, 2081, 2111, 2969, 3251, 3359, 3371, 3461, 4217, 4229, 4259, 5009, 5651, 5867, 6689, 6761, 6779, 6947, 7331, 7547 (OEIS: A053778)

 

Összefoglaló – Az n tagú ikerprímpár-csoportok kezdő számai:

3, 5, 5, 9419, 909287, 325267931, 678771479, 1107819732821, 170669145704411, 3324648277099157 (OEIS: A111950, 2011-ben Lévai Gábor hírt adott arról, hogy talált 11-es csoportot)

 

Most fordítsuk figyelmünket a kissé háttérbe szorult egykeprímekre. Legelőször mondjuk ki a negyedik ígért hipotézist is:

 

H4 (Nagy egykeprím-hipotézis) Bármilyen n természetes számhoz létezik n tagú egykeprím-csoport.

 

Kétségtelenül ez is a H2-höz hasonlóan „kézenfekvő” állítás, de itt is elmondható az, hogy nem tűnik formálisan bebizonyíthatónak. Ettől függetlenül itt is megtehetjük az ikerprímekhez hasonló számításokat, amelyek az egykeprímek esetében valamivel gyérebben találhatók a szakirodalomban.

 

Az egykeprímek:

23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, 113, 127, 131, 157, 163, 167, 173, 211, 223, 233, 251, 257, 263, 277, 293, 307, 317, 331, 337, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 547, 557, 563 (OEIS: A007510, bár ez –véleményem szerint – helytelenül tartalmazza a 2-t is)

 

A kettős egykeprím-csoportok kezdő száma:

47, 79, 83, 89, 113, 127, 157, 163, 167, 211, 251, 257, 293, 317, 331, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 439, 443, 449, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 541, 547, 557, 577, 587, 607, 647 (OEIS: A126095)

 

És az egykeprímes csoportokra vonatkozó összefoglaló, vagyis az n-tagú egykeprím-csoportok kezdő száma:

23, 47, 79, 79, 353, 353, 353, 353, 353, 353, 673, 673, 673, 673, 673, 673, 673, 673, 8641, 8641, 8641, 8641, 13411, 13411, 13411, 14633, 14633, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 62303, 62303, 62303, 62303 (OEIS: A338386) 

 

* * *

Barátságos szomszédok

Nincs két különbözőbb szám, mint két szomszédos szám (vagyis n és n+1 között, hogy éreztessük: a matematika területén vagyunk). Ha az egyik szám osztható egy harmadikkal, az biztos, hogy a szomszédja nem. És fordítva. Tökéletes antipódok.

De baj-e ez? Mit jelentenek végül is a számok tulajdonságai? A Föld n kilométerre van a Naptól, nem sokkal később ez a távolság n+1? Mindenki megkérdezheti: és akkor mi változott?

Nos, ez adja a matematika nagyszerűségét, hogy ilyen fölösleges kérdésekkel nem foglalkozik, hanem töretlenül vizsgál mindent, ami számok tulajdonságainak területén fellelhető.

Ezért mi is most vizsgáljuk meg a kérdést: nincs-e mégis valami, ami legalább egyes szomszéd számokat összekötne, mint ahogy például egy közös hobbi köt össze két szomszédot a városban.

Szerény érdem, de mégis valami, ha két szomszéd szám összege prím. Végül is ez nem minden egymást követő számnál adódik. Pl. 5 és 6 összege prím (11), de 7 és 8 nem az (15). Az ilyen számokat máris elnevezhetjük P-barát szomszédoknak. Misem egyszerűbb ezeket megtahározni: minden prím (és értelemszerűen csak azok) egyértelműen meghatároznak egy ilyen P-barát számpárt. Egyébként a tulajdonság némiképpen emlékeztethet a Goldbach-sejtésre (az egyik a páros számokról, a másik a prímszámokról állítja, hogy bizonyos két szám összegeként írható fel). A különbség annyi, hogy az első vélhetően bizonyíthatatlan sejtés, ám a számolatlan igaz esetekben többféleképpen oldható meg, a másik pedig egyszerűen bizonyítható tétel, amelynek a konkrét esetekben viszont egyetlen megoldása van.

Valamennyire hasonló tulajdonság az, ha a két szomszédos szám összege négyzetszám. Ekkor mondhatjuk, hogy a két szám Q-barát szám. Itt könnyű észrevenni, hogy két szomszédos szám összege soha nem adhat páros négyzetszámot, és ezt a komoly megfigyelést bátran általánosíthatjuk: bármily két szomszédos szám összege páratlan, ami meg is fordítható: minden páratlan szám felírható – éspedig egyértelmű módon – két szomszédos szám összegeként.

A szomszédok összegéből indulva vég nélkül határozhatunk neg különböző hasonló tulajdonságokat, de most nézzünk meg egy izgalmasabb lehetőséget. Ahogy említettük, minden két szomszéd szám totálisan különbözik osztóik vonatkozásában. De vajon lehetséges- hogy ennek ellenére saját összes osztóik száma legyen azonos (ezek lehetnének a D-barátok). A válasz igen, és nem is nehéz gyorsan akadni sz első, beleértve az első nem triviális példákra. Hiszen ilyen „triviális” módon már 2 és 3 is D-barátok.

Itt visszatérve a páros-páratlan kérdésre: könnyű észre venni, hogy a P és D-barát számok hol párosok, hol páratlanok, és erre vonatkozóan vélhetően érdemi szabályosság nem fedezhető fel Ellenben a Q-barát számok mind osztható 4-gyel (de nem mindig 8-cal).

A témát folytatjuk. Szívesen közlünk mások ezzel kapcsolatos eredményeit is.

Végül megadjuk a fenti három tulajdonságnak megfelelő első száz-száz számot

P-barát számok: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20, 21, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 41, 44, 48, 50, 51, 53, 54, 56, 63, 65, 68, 69, 74, 75, 78, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 96, 98, 99, 105, 111, 113, 114, 116, 119, 120, 125, 128, 131, 134, 135, 138, 140, 141, 146, 153, 155, 156, 158, 165, 168, 173, 174, 176, 179, 183, 186, 189, 191, 194, 198, 200, 204, 209, 210, 215, 216, 219, 221, 224, 228, 230, 231, 233, 239, 243, 245, 249, 251, 254, 260, 261, 270, 273

Q-barát számok: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420, 480, 544, 612, 684, 760, 840, 924, 1012, 1104, 1200, 1300, 1404, 1512, 1624, 1740, 1860, 1984, 2112, 2244, 2380, 2520, 2664, 2812, 2964, 3120, 3280, 3444, 3612, 3784, 3960, 4140, 4324, 4512, 4704, 4900, 5100, 5304, 5512, 5724, 5940, 6160, 6384, 6612, 6844, 7080, 7320, 7564, 7812, 8064, 8320, 8580, 8844, 9112, 9384, 9660, 9940, 10224, 10512, 10804, 11100, 11400, 11704, 12012, 12324, 12640, 12960, 13284, 13612, 13944, 14280, 14620, 14964, 15312, 15664, 16020, 16380, 16744, 17112, 17484, 17860, 18240, 18624, 19012, 19404, 19800, 20200

D-barát számok: 1, 2, 14, 21, 26, 33, 34, 38, 44, 57, 75, 85, 86, 93, 94, 98, 104, 116, 118, 122, 133, 135, 141, 142, 145, 147, 158, 171, 177, 189, 201, 202, 205, 213, 214, 217, 218, 230, 231, 242, 243, 244, 253, 285, 296, 298, 301, 302, 326, 332, 334, 344, 374, 375, 381, 387, 393, 394, 429, 434, 445, 446, 453, 481, 501, 507, 514, 526, 537, 542, 548, 553, 565, 603, 604, 609, 622, 633, 634, 645, 663, 664, 694, 697, 698, 706, 717, 724, 735, 741, 745, 766, 776, 778, 782, 793, 802, 805, 817, 819

* * *

Feladat 1. – Van-e két prím…

Létezik-e két a és b prím, hogy x²-ax+b=0 egyenletnek megoldása (két) egészszám?

* * *

MX-számok

A 2ⁿ-1 formájú számok imponálnak a forma extrém egyszerűségével, miközben régóta felbukkannak különböző izgalmas témáknál, mint pl. a prímszámoknál vagy a tökéletes számoknál. Idővel viszont lassan egy valóságos kultusz kezdett kialakulni az ilyen számok iránt, amiben kétségtelenül jelentős szerepe volt Marton Mersenne francia matematikusnak. Ezt később az utókor azzal hálálta meg, hogy róla nevezte el ezeket a számokat.

A Mersenne-számokról már az ókori matematikusok is tudták, hogy „gyakran” (de azért nem annyira gyakran) prímszámok. Ami viszont igazán érdekes, de mondhatjuk azt is, hogy bámulatos, az a tény, hogy ha 2ⁿ-1 prím, akkor n is prím! Fordítva nem igaz, vagyis van (sok olyan) prím n, hogy 2ⁿ-1 nem prím. Ettől függetlenül ez az összefüggés jó módszernek tűnt abban az esetben, ha prímszámokra vadászunk. Az emberek pedig évezredek óta vadásznak prímszámokra, és talán kissé meglepő módon, ma egyre nagyobb hévvel.

Természetesen a fenti összefüggés nem tűnik hatékony módszernek az egyik irányban, ti. az, hogy ha rábukkantunk egy új prímre, nézzük meg Mersenne-szám-e az, és akkor abban mi a 2 hatványa (hiszen akkor az biztosan prím). Több értelme van a fordított eljárásnak, még akkor is, ha különösebb hatékonyságról kár beszélni. Mégis, amióta elterjedtek a számítógépek, szinte tömegsporttá vált a „következő” Mersenne-prím keresése.

Ilyen számítógépes prímvadászat 1952 óta zajlik és az ebbe bevont népes közösség precízen követi nyomon, hogy ki mikor fedezett fel újabb (rendszerint egyre nagyobb) Mersenne-prímet, csakhogy közben senki nem tudja, hogy hány prím, ezen belül hány Mersenne-prím van az előző és az újabb rekorder között. Így ez a mozgalom lassan valóban inkább sport, szabadidő-eltöltés, mint tiszta matematika. De sznobok ne legyünk. Végül minden, ami ezzel a sporttal kapcsolatos visszahathat a legtisztább matematikára is.

Nos, nem állítom, hogy ez a bizonyos sport (közelebbi megismerését mindig halasztgatom), de a Mersenne-számok kultusza máris visszahatott rám. Az eredmény: a Mersenne-szám fogalmának általánosítása.

Valóban, miért csak a 2 alapú hatványokkal dolgozzunk?

Erre valóban semmi nem kényszerít minket, de nyomban felmerül egy probléma: a a prímvadászat továbbra is lebegni szeretne lelki szemeink előtt, olyan képlet, hogy xⁿ-1, nem sok jót ígérne, ha x páratlan. Vagyis két különböző formában kellene általánosítani a Mersenne-számokat:

- ha x páratlan, xⁿ-2.

- ha x páros, xⁿ-1

általánosított Mersenne-szám, illetve Mx-szám.

Szerencsére a szokásos matematikai jelölésrendszer lehetőséget ad a két definíció „összevonására:

Legyen x és n két természetes szám, akkor Mx(n)=xⁿ-n(mod 2)-1 egy (az n-edik) Mx-szám. Vagyis innentől kezdve Mersenne-számok helyett Mx-számokról beszélhetünk.

Bárki megkérdezheti: miért? Ennek ezer oka lehet, és senkinek nincs joga ebben megzavarni a matematikai kutatás örömteli munkáját. Én most többre nem is szeretnék vállalkozni, mint szemügyre venni, mit ígérnek ezek az új pályák a prímvadászatban? Találunk-e gyorsabban és több prímet, ha M3-számokon indulunk el, mint ahogy eddig tették, szinte kizárólag az M2-pályán. És ott van az M4, M5, M11, M31 stb.

Egy pálya helyett végtelen sok pálya áll előttünk, és az semmiképpen nem mellékes (a sportolók számára végképp), hogy ezeken az új pályákon jóval gyorsabban jutunk magasabbra.

De jók ezek az új pályák? Mindegyik?

Ez egyáltalán nem értelmetlen kérdés, ellenkezőleg, nyomban érdekességekkel szolgál. Ám fontos a kérdés jó megfogalmazása. Az első, amit érdemesnek tűnt tisztázni: ha egy adott x mellett nézzük az Mx(n) sorozatot, tartalmaz-e az prímszámot? És ha igen, melyik az első prím? Vagyis egészen precízen: melyik a legkisebb n, amikor Mx(n) prím?

Ez viszont egy x-től függő egészszámú sorozatot ad. Nem volt kiszámítani az első eredményeket, és így bejelenteni az OEIS-be. Ez megtörtént, és most ez a sorozat ott A332029 szám alatt megtalálható, a következő értékekkel.

Az OEIS-ben található értékek többsége Jinyuan Wangtól származik. Köszönöm értékes segítségét.

De mit is mond ez a sorozat első rátekintésre?

Először is feltűnő, hogy a páras Mx-pályák egyáltalán nem kínálnak prímet. A másik feléről pedig azt látjuk, hogy „egyből” adnak ugyan prímet, de majd egy alaposabb vizsgálat mutatja ki hamar, hogy ez a készség megtévesztő, ugyanis ez az első prím egyben az utolsó is.

Jóval biztatóbb és meglepően változatos. A páratlan Mx-pályák egyből prímmel kezdődnek, negyede a kettes hatványnál szolgáltat prímet, a maradék megoszlik magasabb hatványok között. Ezeknél mindenképpen meglepő milyen gyorsan jelentkeznek „nehéz esetek”. Végül is 23^24, 79^38 nagyságrendjéről lehet sejtésünk. De ne legyenek előítéleteink: semmi nem bizonyítja, hogy a nehéz esetek közé sorolható Mx-pályák prímvadászat szempontjából kevésbé ígéretesek lennének.

* * *