2021. július 9., péntek

Amikor az osztók száma nagyobb magánál a számnál

 

A tény, hogy egy prím felírható két komplex egész nem triviális szorzataként bizonyára sokak számára igen meglepő, akár döbbenetes is lehet.

Meglepő vagy nem, a tény igaz, és helyes lenne körbe járni. Hátha nem minden prím „árulja el” ősi, építőkocka jellegét. Gyorsan be lehet látni. hogy minden prím „áruló”. Mi több. látjuk, hogy minden prímszám meglepően sokféleképpen írható fel nem triviális szorzatként. (Mellesleg teljesen igaza lenne, ha valaki unná a meglepetés emlegetését, hiszen ez valóban nem matematikai fogalom).

Lássunk egy példát! A népszerű 13 nem triviális osztóinak száma… 14!

 

-13+0i, -3-2i, -3+2i, -2-3i, -2+3i, -1+0i, 0-13i, 0-1i, 0+1i, 0+13i, 2-3i, 2+3i, 3-2i, 3+2i

 

De ha erre képes a 13, miért csodálkozzunk, hogy a 12-nek 38 nem triviális osztója akad a komplex egészek körében. Most mindenre felkészülve nézzük meg az összes természetes szám nem triviális osztóinak számát 1 és 100 között! Ezek:

 

3, 10, 6, 18, 14, 22, 6, 26, 10, 46, 6, 38, 14, 22, 30, 34, 14, 34, 6, 78, 14, 22, 6, 54, 34, 46, 14, 38, 14, 94, 6, 42, 14, 46, 30, 58, 14, 22, 30, 110, 14, 46, 6, 38, 46, 22, 6, 70, 10, 106, 30, 78, 14, 46, 30, 54, 14, 46, 6, 158, 14, 22, 22, 50, 62, 46, 6, 78, 14, 94, 6, 82, 14, 46, 70, 38, 14, 94, 6, 142, 18, 46, 6, 78, 62, 22, 30, 54, 14, 142, 30, 38, 14, 22, 30, 86, 14, 34, 22, 178

 

Határozottan az az érzésem, hogy itt még rengeteg érdekesség vár ránk.

 



* * *

 

2021. július 6., kedd

Egy drámai találkozás

 

Minden prímszám felírható két egész szám nem triviális szorzataként, vagyis úgy hogy egyik tényező sem 1 – ezt kellett észrevennem.

Bevallom, különleges élmény volt. Első hallásra ez valóban apokalipszis a klasszikus számelméletben.

Feloldja a döbbenetet a helyzet apró részlete: a két egész szám, amelynek szorzata adja a prímet, komplex egész szám:

(4+5i)(4-5i) = 41

Hasonló, vagyis (k+5i)(k-5i) számok között sok prímet találtam, számuk bizonyos végtelen (de ez egyelőre maradjon hipotézis). Ezek:

 

29, 41, 61, 89, 281, 349, 509, 601, 701, 809, 1049, 1181, 1321, 1789, 2141, 2729, 3389, 4649, 5209, 5501, 5801, 8861, 9241, 9629, 10429, 11261, 11689, 12569, 15401, 15901, 17449, 17981, 18521, 19069, 21341, 21929, 23741, 24989, 26921, 27581, 33149, 39229, 40829, 41641, 42461, 45821, 46681, 52009, 53849, 55721, 59561, 68669, 71849, 79549, 80681, 86461, 87641, 91229, 94889, 97369, 98621, 99881, 101149, 107609, 111581, 112921, 114269, 116989, 118361, 126761, 128189, 133981, 135449, 139901, 145949, 147481, 149021, 153689, 156841, 158429, 169769, 173081, 174749, 179801, 181501, 186649, 190121, 195389, 197161, 198941, 204329, 209789, 226601, 228509, 234281, 252029, 254041, 264221, 266281…

 

Hasonló sorozatokat találunk, ha a fenti képlet az 5 helyébe bármilyen más számot írunk be. Ami érdekes, az első négy esetben mind olyan sorozatot kapunk, amely ismert az OEIS-ben – de nem az itt jelzett tulajdonság miatt, hanem a kapcsolódó képlet kibontott formájára hivatkozva:


5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 - https://oeis.org/A002144

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257 - https://oeis.org/A002496

 5, 13, 29, 53, 173, 229 - https://oeis.org/A005473

13, 73, 109, 409, 1033 - https://oeis.org/A138353

17, 41, 97, 137, 241, 457 - https://oeis.org/A243451

 

A fenti megfigyelés után egy sor izgalmas kérdés merült fel bennem. Ezek többségére már meg is találtam a választ. Ezeket egy következő bejegyzésben osztom meg.

 



* * *

 

2021. július 1., csütörtök

A prímszámok legendája

 

Volt egyszer egy legenda, mi szerint a 2, 3, 5, 7, 11 és még sok más szám prím, vagyis 1-en és saját magán kívül más egész számmal nem osztható.

A legenda ma is tartja magát, de van egy hírem: nem igaz.

Sajnos, most még nem tudom biztosan megmondani, hogy minden legendabeli prím összetett szám-e, illetve nincsenek-e ellenben újq eddig nem felfedezett igazi prímek.

Gondolkozom, és ha vannak híreim, jelentkezem.

De addig is, hamarosan megosztok részleteket a legenda leleplezéséről.

 



* * *

 

2020. november 29., vasárnap

Klub-számok

 

A természetes számoknak van egy fajtája, amely nem kap nagy figyelmet, ugyanakkor érdekes. Minden esetre igen szórakoztató feladatokat kínál. Mindjárt kapunk is ezekből egypárat.

Először lássuk az említett számfajta meghatározást. Egy n természetes számot klub-számnak nevezzük, ha n osztható minden számjeggyel, amely szerepel benne. (A pedánsok kedvéért: maradék nélkül osztható.) Például: 11 és 12 klub-számok, 13 és 14 nem azok.

Ebből a meghatározásból adódik, hogy ha egy természetes szám 0-t tartalmaz, akkor nem lenne klub-szám, hiszen 0-val „nem szabad” osztani. Két dolgot tehetünk: elfogadjuk ezt a helyzetet, vagy úgy árnyaljuk a definíciót, hogy n klub szám, ha minden nem 0 számjeggyel osztható, amely szerepel a számban. A legjobb talán az, ha megengedő módon kezeljük a dilemmát, és az utóbbi esetben nullás klub-számokról beszélünk.

Egy másik szempont is árnyalhatja a tipológiánkat: egy klub-számot rövidnek neveznénk, ha benne egy számjegy egyetlenegyszer fordul elő.

Felmerülhet egy jogos kérdés: nem túlságosan mesterséges egy a számfajta, hiszen szemmel láthatóan nagymértékben (vagy talán teljes egészében) az alkalmazott számrendszertől függ. Ebben van igazság, de matematikában nem sokat tudunk kezdeni azzal, hogy valami túlságosan vagy nem túlságosan mesterséges.

Tehát lássunk inkább néhány konkrét problémát.

Teljesen világos, hogy az a kérdés: egy konkrét n szám klub-szám-e, triviális számolási feladat, amellyel kár foglalkozni.

Éppen fordított viszont a helyzet, ha megadunk egy szájegy-sorozatot, és keresnénk ezeket és csak ezeket tartalmazó klub-számokat.

Nyomban világos, hogy erre nem áll rendelkezésre képlet, a sorban vagy véletlenszerű próbálkozás pedig gyakorlatilag járhatatlan út, így örömmel felfedezzük, hogy minden konkrét feladat egy sor elemi összefüggésre vezet, amely végül sikeresen elvezet a megoldáshoz.

Íme, egy példa: találjunk klub-számot, amely a 2, 3 és 4-et tartalmazza (az egyszerűség kedvéért ezt jelölhetjük (2.3.4)-klub-számnak). Először is világos, hogy ez párasszám, ezért vagy 2-re vagy 4-re végződik. Az első esetben két szám jöhet szóba: 342 és 432. a második esetben is kettő jöhet szóba: 234 és 324. 342 és 234 nem osztható 4-gyel, így igen gyorsan eljutottunk két megoldáshoz. A végtelen sokból. Hiszen könnyű észrevenni, hogy ha 432 megoldás, akkor 432432 is az, 432432432 stb. is megoldás.

Nos, ezt tudva, mindig kiélezhetjük úgy a kérdést, hogy melyik a legkisebb klubszám. Ám semmi kétség, hogy sok esetben akkor is szép eredmény lesz, ha egy számjegysorozatra bármilyen, és nem feltétlenül a legkisebb megoldást találjuk meg.

Befejezésképpen legyen egy egyszerű házi feladat: találj egy (5,7,9)-klub-számot!

 

A megoldás beküldhető a Számsámán kockakörbe, illetve ott kérhető segítség válság esetén.

 



* * *