Klub-számok

 

A természetes számoknak van egy fajtája, amely nem kap nagy figyelmet, ugyanakkor érdekes. Minden esetre igen szórakoztató feladatokat kínál. Mindjárt kapunk is ezekből egypárat.

Először lássuk az említett számfajta meghatározást. Egy n természetes számot klub-számnak nevezzük, ha n osztható minden számjeggyel, amely szerepel benne. (A pedánsok kedvéért: maradék nélkül osztható.) Például: 11 és 12 klub-számok, 13 és 14 nem azok.

Ebből a meghatározásból adódik, hogy ha egy természetes szám 0-t tartalmaz, akkor nem lenne klub-szám, hiszen 0-val „nem szabad” osztani. Két dolgot tehetünk: elfogadjuk ezt a helyzetet, vagy úgy árnyaljuk a definíciót, hogy n klub szám, ha minden nem 0 számjeggyel osztható, amely szerepel a számban. A legjobb talán az, ha megengedő módon kezeljük a dilemmát, és az utóbbi esetben nullás klub-számokról beszélünk.

Egy másik szempont is árnyalhatja a tipológiánkat: egy klub-számot rövidnek neveznénk, ha benne egy számjegy egyetlenegyszer fordul elő.

Felmerülhet egy jogos kérdés: nem túlságosan mesterséges egy a számfajta, hiszen szemmel láthatóan nagymértékben (vagy talán teljes egészében) az alkalmazott számrendszertől függ. Ebben van igazság, de matematikában nem sokat tudunk kezdeni azzal, hogy valami túlságosan vagy nem túlságosan mesterséges.

Tehát lássunk inkább néhány konkrét problémát.

Teljesen világos, hogy az a kérdés: egy konkrét n szám klub-szám-e, triviális számolási feladat, amellyel kár foglalkozni.

Éppen fordított viszont a helyzet, ha megadunk egy szájegy-sorozatot, és keresnénk ezeket és csak ezeket tartalmazó klub-számokat.

Nyomban világos, hogy erre nem áll rendelkezésre képlet, a sorban vagy véletlenszerű próbálkozás pedig gyakorlatilag járhatatlan út, így örömmel felfedezzük, hogy minden konkrét feladat egy sor elemi összefüggésre vezet, amely végül sikeresen elvezet a megoldáshoz.

Íme, egy példa: találjunk klub-számot, amely a 2, 3 és 4-et tartalmazza (az egyszerűség kedvéért ezt jelölhetjük (2.3.4)-klub-számnak). Először is világos, hogy ez párasszám, ezért vagy 2-re vagy 4-re végződik. Az első esetben két szám jöhet szóba: 342 és 432. a második esetben is kettő jöhet szóba: 234 és 324. 342 és 234 nem osztható 4-gyel, így igen gyorsan eljutottunk két megoldáshoz. A végtelen sokból. Hiszen könnyű észrevenni, hogy ha 432 megoldás, akkor 432432 is az, 432432432 stb. is megoldás.

Nos, ezt tudva, mindig kiélezhetjük úgy a kérdést, hogy melyik a legkisebb klubszám. Ám semmi kétség, hogy sok esetben akkor is szép eredmény lesz, ha egy számjegysorozatra bármilyen, és nem feltétlenül a legkisebb megoldást találjuk meg.

Befejezésképpen legyen egy egyszerű házi feladat: találj egy (5,7,9)-klub-számot!

 

A megoldás beküldhető a Számsámán kockakörbe, illetve ott kérhető segítség válság esetén.

 

* * *

Prímszámok – négy sejtés

 

A prímszámokat – joggal – tartjuk az összes szám elemi részecskéjének. Közben az a helyzet, hogy a számokról (majdnem) minden tudunk, éspedig precízen, de magukról a prímszámokról csak számolásokkal nyert „empirikus” ismereteink és különféle hipotéziseink vannak. Mintha valami elzárna a mindenható elméleti kutatás útjait a misztikus prímekhez. Bár ez egy másik téma (amelyre érdemes lesz visszatérni.)

Most négy összefüggő hipotézist vennénk szemügyre, a kapcsolódó „empirikus” ismeretekkel.

Jól ismert fogalom az ikerprím. Itt arra kell ügyelni, hogy maga a terminus alkalmazható egy számra is, számpárra is, és ez odafigyelést igényel. Tehát, egy n szám ikerprím, ha prím és vagy n-2 vagy n+2 is prím. Vagyis n „közelében” van egy másik prím. Két n és m szám pedig akkor ikerprím vagy ikerprímpár, ha mind a kettő prím és n-m=2 vagy m-n=2. A témát és a megfogalmazásokat elbonyolíthatja a prímek furcsa kezdete (2, 3, 4, 5, 7). Ez a „furcsa kezdet” is egy külön téma (amelyre szintén érdemes visszatérni). Most annyival intézhetjük a dolgot, ha a ikerprímszámokat 5-től kezdve számoljuk. És valóban, az első „rendes” ikerpárok: (5,7), (11,13), (17,19) stb.

Nos, ezek az ikerprímek hatalmas érdeklődést váltanak ki, sokan foglalkoznak velük, sokat lehet ezekről olvasni. De vajon, milyenek a nem ikerprímszámok? Sokszor, ha van egy kiemelt aleset, mellette több más is lehet, de itt nem ez a helyzet (hanem olyan, mint a párosszám fogalmánál: ha egy szám nem páros, akkor páratlan, és ennyi). Valóban, ha egy prímszám „közelében” nincs egy másik prím, akkor nincs, és ennyi. Jogosnak látszik az ilyen prímeket egykének vagy magányosnak hívni. Vagyis minden prím vagy iker, vagy magányos, harmadik eset nincs. Az első – számtanban reflexszerű kérdés az, hogy ezekből végtelen sok van? Nos, erre ne nagyon várjunk elméleti, bizonyítható eredményt. Hipotézisünk viszont lehet.

 

H1 (Kis ikerprím hipotézis) Végtelen sok ikerprím létezik.

 

H2 (Kis egykeprím hipotézis) Végtelen sok egykeprím létezik.

 

Az első hipotézis régóta ismert, bizonyára már akkor megfogalmazhatták, amikor először beszéltek ikerprímekről. Csupán annyi fűzhető hozzá, hogy sokan próbálkoztak a bizonyításával, és gyakran részeredményekről számolnak be (egy öreglány ostromlásának részeredménye az is lehet, hogy ő már félig szűz, de itt még messze vagyunk ettől). A kérdés viszont valóban érdekes, mert az állítás semmiképpen nem mondható nyilvánvalónak.

Ezzel szemben a H2 hipotézis kétségbe vonása színtiszta abszurditás lenne. Bárki joggal mondhatja: ez az állítás végtelenül triviális. Valóban. Ránézésre. De tessék bebizonyítani! Én ugyanolyan reménytelennek látom ennek az állításnak a bizonyítását, mint a H1-é, és éppen ezért meg is érdemli az írásos hipotézis státuszt. Közben nem zárom ki, hogy ez ebben a formában először lett leírva.

Most menjünk tovább e két állatfaj vizsgálatában.

Kézenfekvő és jogos kérdés: ha ez a kétfajta prímszám va, és vélhetően mind a kettőből végtelen sok van, hogyan oszlanak ezek? Nyomban szembetűnik, hogy az ikrek erősen indulnak: az 5-tel kezdődő hat prím mind iker, de 100-ig nézve is szép számban vannak. Legelőször viszont rögzítsük, hogy leszámítva az indulási kuriózumot, ahol 3, 5 és 7 három egymást követő iker, hármas ikrek nincsenek, ami – könnyen – bizonyítható.

 

Lemma 1. Ha p és p+1 prím, p+3 nem prím.

 

Ebből az adódik, hogy minden ikerprímpár után kell „pihenő”. Rendben van, jöjjön a pihenő, de a pihenő önmagában nem dönti el, hogy utána iker vagy egyke következik. Pl. 7 után iker, 19 után egyke következik. Ebben vegyül is nincs semmi meglepő, hogy az ikerprímpárok csoportokat alkothatnak. Nem túl nehéz feltérképezni ezeket. Így készíthetünk olyan sorozatokat, amelyek beazonosítják (első tagjukkal) a különböző csoportokat. Nehezebb kérdés az, hogy mekkorák lehetnek ezek a csoportok. Teljesen érthető, hogy minél nagyobb ilyen csoportokat keresünk, annál ritkábban találunk ilyeneket. És itt meglepően gyorsan jelentkeznek a nehézségek. Már az 5 ikerprímpárból álló csoportok felfedezése is hatékony számítástechnikai segítséget igényel. Jelenleg a kutató verseny a 10-es csoportoknál akadt el. Persze, nem lehet kétségünk, hogy az egyre nagyobb számítógépjeink további haladást érnek el, felfedezzük 11-es és 12-es csoportokat, de ezeknek a tagjai már felfoghatatlan számok.

Mégis, az emberi elme ennyivel nem ér be. Az a kérdés: bármilyen n szám esetén, létezik-e n ikerprímpárt tartalmazó csoport? Erre se számítsunk elméleti eredményre, de legyen bátorságunk megfogalmazni a harmadik hipotézist is:

 

H3 (Nagy ikerhipotézis) Bármilyen természetes n számhoz létezik n-tagú ikerprímpár-csoport.

 

Mielőtt tovább mennénk, tekintsünk néhány idekapcsolódó sorozatot

Az ikerprímpárok kezdő számai:

3, 5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 227, 239, 269, 281, 311, 347, 419, 431, 461, 521, 569, 599, 617, 641, 659, 809, 821, 827, 857, 881, 1019, 1031, 1049, 1061, 1091, 1151, 1229, 1277, 1289, 1301, 1319, 1427, 1451, 1481, 1487, 1607 (OEIS: A001359)

 

A kettes ikerprímpár-csoportok kezdő számai:

5, 11, 101, 137, 179, 191, 419, 809, 821, 1019, 1049, 1481, 1871, 1931, 2081, 2111, 2969, 3251, 3359, 3371, 3461, 4217, 4229, 4259, 5009, 5651, 5867, 6689, 6761, 6779, 6947, 7331, 7547 (OEIS: A053778)

 

Összefoglaló – Az n tagú ikerprímpár-csoportok kezdő számai:

3, 5, 5, 9419, 909287, 325267931, 678771479, 1107819732821, 170669145704411, 3324648277099157 (OEIS: A111950, 2011-ben Lévai Gábor hírt adott arról, hogy talált 11-es csoportot)

 

Most fordítsuk figyelmünket a kissé háttérbe szorult egykeprímekre. Legelőször mondjuk ki a negyedik ígért hipotézist is:

 

H4 (Nagy egykeprím-hipotézis) Bármilyen n természetes számhoz létezik n tagú egykeprím-csoport.

 

Kétségtelenül ez is a H2-höz hasonlóan „kézenfekvő” állítás, de itt is elmondható az, hogy nem tűnik formálisan bebizonyíthatónak. Ettől függetlenül itt is megtehetjük az ikerprímekhez hasonló számításokat, amelyek az egykeprímek esetében valamivel gyérebben találhatók a szakirodalomban.

 

Az egykeprímek:

23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, 113, 127, 131, 157, 163, 167, 173, 211, 223, 233, 251, 257, 263, 277, 293, 307, 317, 331, 337, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 547, 557, 563 (OEIS: A007510, bár ez –véleményem szerint – helytelenül tartalmazza a 2-t is)

 

A kettős egykeprím-csoportok kezdő száma:

47, 79, 83, 89, 113, 127, 157, 163, 167, 211, 251, 257, 293, 317, 331, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 439, 443, 449, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 541, 547, 557, 577, 587, 607, 647 (OEIS: A126095)

 

És az egykeprímes csoportokra vonatkozó összefoglaló, vagyis az n-tagú egykeprím-csoportok kezdő száma:

23, 47, 79, 79, 353, 353, 353, 353, 353, 353, 673, 673, 673, 673, 673, 673, 673, 673, 8641, 8641, 8641, 8641, 13411, 13411, 13411, 14633, 14633, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 24439, 62303, 62303, 62303, 62303 (OEIS: A338386) 

 

* * *

Egy érdekes számprezentáció

A számprezentáció egy külön témakör a számelméletben. Elsősorban olyan szabályszerűségeket keres, hogy milyen formában lehet felérni a természetes számokat.

Számos nevezetes példa létezik, és bizonyára vég nélkül lehet keresni újakat. Ezeket különböző szempontok szerint lehet csoportosítani. Egyrészt fontos kérdés, hogy a szabály az összes természetes számra vonatkozik-e vagy csak egy részükre (és ez a rész mennyire „természetes” – vagy legalább végtelen-e). Talán a leghíresebb példa a Goldbach-sejtés, amely szerint minden páros szám felírható két prím összegeként. Ez nyilvánvalóan nem terjeszthető az összes természetes számra, vagyis a páratlanokra is, mert azok egy kisebb része igem nagyobb része nem írható fel két prím összegeként. (Természetesen, matematikában óvatosan kell jasználni azokat a minősítéseket, hogy „több” vagy „kevés”, mert pl. az utolsó példánál is az „igazság” az, hogy ilyen meg olyan páratlanokból is végtelen sok van. De ez egy egészen más téma.)

Nem meglepő módon bőven találtak már az összes természeetes számra is vonatkozó szabályszerűségeket, de ezek többnyire egy másik sajátosságot mutatnak: nem egyértelműek, ami a prezentáció struktőráját illeti. Erre is van egy nevezetes- bár nem olyan régen bizonyított – példa az, hogy minden természetes szám felírható legfeljebb négy négyzetszám összegeként. Vagyis felírható akár egy, akár több négyzetszám összegeként, de mindig van olyan felírás, amikor az összeadandók száma nem több négynél.

A nem egyértelműségnek van egy másik „dimenziója”, amikor egy adott szám többféleképpen írható fel az adott szabály szerint. Ez könnyen látható a Goldbach-sejtésnél, hiszen általában egy nagyobb páros szám sokféleképen írható fel prímek összegeként.

Végül említsük meg, hogy érthető módon az efféle szabályok többnyire nem 1-től érvényesek, hanem van egy „tehnikai” küszöb. A Goldbach-sejtésnél ez értelemszerűen a 4, de például a négyzetszámos szabály már 1-től érvényes.

Most pedig nézzünk meg egy vélhetően új sejtést (hiszen magam még nem találkoztam vele). E szerint minden (!) 3-nál nagyobb természetes szám felírható mint egy prím szám és egy négyzetszámmal szorzott prím összege. Vagyis minden 3-nál nagyobb n természetes szám esetén létezik p1 és p2 prímszám, továbbá q természetes szám, amelyekre igaz:

a = p₁ + q²*p₂

Gyorsan észre fogjuk venni, hogy sokszor a „megoldáshoz” elég ha q = 1. De ez távolról sincs így mindig (máskülönben a Goldbach-sejtés a páratlan számokra is érvényes lenne).

Az első tehát, amit hangsúlyozni kell, hogy ez a prezentáció mindem (3-nál nagyobb) természetes szám érvényes.

A másik igen fontos megjegyzés: a fenti állítás vélhetően ugyanannyira lehetetlen bebizonyítani, mint a Goldbach-sejtést.

Lássunk két példát ilyen prezentációra!

52 = 7 + 3²*5

83 = 3 + 4²*5

Ezzel a prezentációval egy sor észrevételt tehetünk, különösen, ha külön megvizsgáljuk a páras és a páratlan számok prezentációját. Pl. ha a szám páras, az összeg mindkét tagjának egyszerre párosnak vagy páratlannak kell lennie, de az egyetlen páras prím a 2 stb.

Kérdések is felvethetők, és nyomban az első ilyen fölöttébb meglepő eredményhez, sőt egy nagy feladványhoz vezetett. A kérdés pedig a következő: adott n mellett, melyik a lekisebb q természetes szám, amellyel, mint a prezentációban szereplő négyzet alapja megadható n reprezentációja. Mivel feltesszük, hogy megoldás mindig van, így e számok legkisebbikje mindig egyértelműen adott. Nos, tekintettel, hogy a Goldbach-sejtés igen nagy távon empirikusan meg van erősítve, kijelenthetjük, hogy minden páros n mellett a(n) = 1. De világos, hogy igyanaz a helyzet, ha n páratlan és n-2 prim.

Nem nagyon meglepő, hogy ha a(n) nem 1, akkor 2 lehet (kezdetben). Az viszont mégis csak furcsa, hogy „csak a(17) = 2.

Innentől kezdve viszont már aránylag sűrán előfordul, a továbbra is gyakori 1-esek között. És igen sokáig.

Az ember egyre türelmetlenebbül várja, mikor fog megjelenni a 3?

Kell is némi türelem, de siker jutalmazza: a(77) = 3!

Utána újra 1-esek és 2-esek, sokáig, sokáig, meglehetősen kiegyenlített erővel.

És itt a nagy bökkenő: hiába minden türelem, de nem hogy 4 és 5 stb. nem jön, de a 3 sem ismétlődik – legalább is addig, amíg a számítógépen eddig ellenőrizte. Ez ma 20 000 000…

Bevallom, számomra ez döbbenetes eredmény. A nagy kérdés: lehetséges-e, hogy a 77 „tévedés”, az egyes egyedül természetes szám, amelyre a(n) = 3? Lehetséges-e továbbá, hogy a(n) soha nem lehet nagyobb 3-nál.

Hajlok arra gondolni, hogy a fenti két kérdésre tagadó a válasz. De erre példák kellene.

Érdekes kérdés: ha az embernek ilyen monstre-feladványa van, hol kereshet segítséget? Nem biztos, hogy ehhez a feladathoz kvantum-számítógép kell, de vélhetően egy PC kevés.

 

* * *

Arisztark-sorozatok

Mialatt írtam A számok című könyvemet, többé vagy kevésbé érdekes sorozatok tucatjait találtam ki. Egyeseket felírtam magamnak, másokat nem, de minden esetben megvolt a szándék, hogy „majd egyszer” visszatérek ezekre.

Így a napokban elővettem az egyiket, és roppant érdekes tulajdonságokat fedeztem nála, és – örömömre – annál több rejtélyt.

Mivel egész sorozatcsaládról van szó, úgy éreztem, jó lenne nevet adni nekik. Így magamnak Arisztark-sorozatnak kezdtem hívni. Aki elfogadja ezt az elnevezést, elfogadja, aki nem, nem. Mindenesetre Arisztark megérdemli tiszteletünket.

De haladjunk sorjában!

Az alapsorozat a következő szabály szerint alakul:

a(1) = 1

ha n > 1, a(n) = a(n-1)/gcd(a(n-1), n) ha gcd(a(n-1), n) > 1, más esetben, vagyis ha gcd(a(n-1), n) = 1, akkor a(n) = a(n-1)+n.

Szavakkal elmondva, ha az előző tag és n legnagyobb közös osztója nagyobb 1-nél )tehát valós osztó), akkor azzal elosztjuk az előző tagot, és ez lesz az új tag, de ha az előző tag és n relatív prím, az őj tag az előző tag és n összege.

Magában a szabályban semmilyen különösebb „csavar” nincs, érdeklődéssel várhatjuk az eredményt.

Nos, ez akár csalódásnak is tűnhet, ugyanis ez a sorozat így néz ki:

1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, ….

Vagyis eléggé egyhangú és kiszámítható.

Ha ez lenne minden, akár el is felejthetjük a sorozatot.

De azért nézzük meg, mi történik, ha az első tag nem 1, hanem – a rend kedvéért – 2!

Apró meglepetés. A sorozat most így néz ki:

2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, 1, …

Példaértékű rend és fegyelem, szinte szép! Bár minden sorozat ilyen lenne, semmi gondunk nem lenne velük.

De a matematikus kíváncsi ember, megnézi, hogyan fest más kezdő tagok esetén ez a sorozat, ha már ennyit beszélünk róla!

Nézzük meg, milyen a sorozat, ha az első tag 3!

Hát most kellene megkapaszkodni! A sorozat így néz ki:

3, 5, 8, 2, 7, 13, 20, 5, 14, 7, 18, 3, 16, 8, 23, 39, 56, 28, 47, 67, 88, 4, 27, 9, 34, 17, 44, 11, 40, 4, 35, 67, 100, 50, 10, 5, 42, 21, 7, 47, 88, 44, 87, 131, 176, 88, 135, 45, 94, 47, 98, 49, 102, 17, 72, 9, 3, 61, 120, 2, 63, 125, 188, 47, 112, 56, 123, 191, 260, 26, 97, 169, 242, 121, 196, 49, 7, 85, 164, 41, 122, 61, 144, 12, 97, 183, 61, 149, 238, 119, 17, 109, 202, 101, 196, 49, 146, 73, 172, 43, 144, 24, 127, 231, 11, 117, 224, 56, 165, 3, …

Kétségtelenül, ez az első két eset után döbbenetesen néz ki. Mondhatni igazi random sorozat. Valóban, miféle összefüggéseket lehet itt felfedezni? (Figyelem: ez csak egy provokatív kérdés.)

És most jöhet az igazi meglepetés! Éppen itt, ahol abbahagytam, ez a bizarr rakoncátlan sorozat visszatér a jól ismert cizellált mederbe, és így folytatódik:

1, 113, 1, 115, 1, 117, 1, 119, 1, …

Az eset enyhén szólva érdekes, és felfedezése után egy becsületes számász nem hagyja ennyiben, hanem megvizsgálja az összes természetes számmal. (Nem nagy úgy, ez a legkisebb végtelen halmaz.)

Mi tagadás, ez is egy érdekes sorozat, mikor tér vissza a sorozat a rendes kerékvágásba.

Íme szerény első eredményei (itt most csak azokat az eredményeket adom meg, amelyek egy folyamatos sort képeznek):

1, 2, 111, 7, 5, 3, 25, 22, 25, 111, 111, 4, 7, 5, 5, 6, 22, …

Miért ilyen sokszor fordul elő a 111, miért fordul elő kétszer is egymás után (ha a sorozat 10-zel vagy 11-gyel kezdődik)?

Tucatnyi kérdés, tucatnyi rejtély. Azok egy részére bizonyára soha nem kapunk választ, másokra igen. És én kíváncsian várom azokat.

Végül még egy fontos adalék, hogy felpezsdítsük az Arisztark-sorozatok világában az életet. Nos, az alapképletben egy apró módosítás drámai módon változtatja meg annak jellegét, nyoma nem marad e régi egyhangú medernek. Ez a módosítás pedig az, hogy ha a gcd 1, akkor az új tag az előző és n összege, mínusz 1. Ekkor a sorozat így fest:

1, 2, 4, 1, 5, 10, 16, 2, 10, 1, 11, 22, 34, 17, 31, 46, 62, 31, 49, 68, 88, 4, 26, 13, 37, 62, 88, 22, 50, 5, 35, 66, 2, 1, 35, 70, 106, 53, 91, 130, 170, 85, 127, 170, 34, 17, 63, 21, 3, 52, 102, 51, 103, 156, 210, 15, 5, 62, 120, 2, 62, 1, 63, 126, 190, 95, 161, 228, 76, 38, 108, 3, 75, 148, 222, 111, 187, 264, 342, 171, 19, …

Látjuk, itt az 1 felbukkanása nem tereli a sorozatot sehova, az unalom kizárva.

Ennyi most az első híradás az Arisztark-sorozatokról.

 

* * *

Milyen függvény adja az elforgatott parabolát?

Tudjuk, hogy minden függvény meghatároz egy vonalat, és fordítva, minden vonal meghatároz egy függvényt.

Most mellőzzük a pedáns részletezést, milyen függvények és milyen vonalak esetében kifogástalan a fenti állítás, hiszen abban az esetben, amelyről szó lesz, az valóban igaz.

Nos, másodfokú egyenletekről van szó, amelyeknek grafikonja minden esetben egy szép, egyenesen álló parabola, vagyis olyan parabola, amelynek szimmetriatengelye függőleges.

De ez az: és mi van, ha ez a tengely nem lenne annyira függőleges?

Legyen adva egy ilyen parabola, a hozzátartozó másodfokú egyenlettel, mi meg ezt a parabolát forgassuk el balra egy fokkal, úgy hogy az elforgatás középpontja a parabola csúcsa (a másodfokú egyenlet extrém – legkisebb vagy legnagyobb – pontja).

A kérdés: milyen függvény írja le az így elforgatott parabolát?

Természetesen vizsgálhatjuk a helyzetet más középpont esetén.

Külön – igen érdekesnek látszó – témakör annak tanulmányozása, hogy egy adott egyértékű függvény grafikonja elforgatás esetén milyen szögtartományokban őrzi meg az egyértékűség igen értékes tulajdonságát.A kérdés: milyen függvény írja le az így elforgatott parabolát?

 

Kérdés, amelynek jelenleg nem ismerjük a megoldását.

 

* * *

Mennyire lóg ki a csúcs?

Közös középponttal adva egy r sugarú kör, és egy a oldalhosszúságú négyzet, ezekre  a < 2r < a*2^0,5 teljesül, vagyis a négyzet nagyobb a körbe írt négyzetnél, de kisebb a kör köré írt. Számítsuk ki a négyzet A csúcspontjának távolságát a négyzet és a kör legközelebbi metszéspontjától!

* * *

Önhatványú számok

Nem régen feltettük a nem túl bonyolult kérdést: miért érdekes a

387 420 489

szám?

A válasz: azért, mert ez a legnagyobb szám, amely felírható két számjeggyel:

387 420 489 = 9⁹

Vannak emberek, akik, ha nincsenek jó kedvükben, semmiben sem látnak semmi érdekeset. Azokat szívből lehet sajnálni. Mi most őrizzük meg jó kedvünket, és próbáljunk még valami érdekeset látni ebben a számban!

Nos, nem csigázom az érdeklődést: az érdekes az, hogy 9⁹ rendesen kiírva kilenc számjegyből áll. Vajon jellemző lehet ez az nⁿ típusú számokra? Micsoda kellemes kezdet: 1¹ egy számjegyből áll. Elfog minket az izgalom…

Ám a sorozat nem úgy folytatódik, hanem helyben toporog. 2² is egy számjegyből áll. Ezt a hátrányt a továbbiakban nem is lehet ledolgozni – egészen a 8-ig. 8⁸ ugyanis 8 számjegyből áll.

10¹⁰-hez elég ugyan a 10 nulla, de számjegyből azért mégis 11 kell. Innentől kezdve viszont nincs megállás. E fölött nⁿ leírásához n-nél egyre nagyon számban kellene számjegyek. Ugyanakkor ez a szám nem ad egy szédületes haladványt. Monoton növekvő, de szelíden növekszik. Nem példákat adunk, hanem megmutatjuk az első 80 értékét. Érdekes sorozat. Hacsak nem rossz a kedve.

  

* * *

Barátságos szomszédok

Nincs két különbözőbb szám, mint két szomszédos szám (vagyis n és n+1 között, hogy éreztessük: a matematika területén vagyunk). Ha az egyik szám osztható egy harmadikkal, az biztos, hogy a szomszédja nem. És fordítva. Tökéletes antipódok.

De baj-e ez? Mit jelentenek végül is a számok tulajdonságai? A Föld n kilométerre van a Naptól, nem sokkal később ez a távolság n+1? Mindenki megkérdezheti: és akkor mi változott?

Nos, ez adja a matematika nagyszerűségét, hogy ilyen fölösleges kérdésekkel nem foglalkozik, hanem töretlenül vizsgál mindent, ami számok tulajdonságainak területén fellelhető.

Ezért mi is most vizsgáljuk meg a kérdést: nincs-e mégis valami, ami legalább egyes szomszéd számokat összekötne, mint ahogy például egy közös hobbi köt össze két szomszédot a városban.

Szerény érdem, de mégis valami, ha két szomszéd szám összege prím. Végül is ez nem minden egymást követő számnál adódik. Pl. 5 és 6 összege prím (11), de 7 és 8 nem az (15). Az ilyen számokat máris elnevezhetjük P-barát szomszédoknak. Misem egyszerűbb ezeket megtahározni: minden prím (és értelemszerűen csak azok) egyértelműen meghatároznak egy ilyen P-barát számpárt. Egyébként a tulajdonság némiképpen emlékeztethet a Goldbach-sejtésre (az egyik a páros számokról, a másik a prímszámokról állítja, hogy bizonyos két szám összegeként írható fel). A különbség annyi, hogy az első vélhetően bizonyíthatatlan sejtés, ám a számolatlan igaz esetekben többféleképpen oldható meg, a másik pedig egyszerűen bizonyítható tétel, amelynek a konkrét esetekben viszont egyetlen megoldása van.

Valamennyire hasonló tulajdonság az, ha a két szomszédos szám összege négyzetszám. Ekkor mondhatjuk, hogy a két szám Q-barát szám. Itt könnyű észrevenni, hogy két szomszédos szám összege soha nem adhat páros négyzetszámot, és ezt a komoly megfigyelést bátran általánosíthatjuk: bármily két szomszédos szám összege páratlan, ami meg is fordítható: minden páratlan szám felírható – éspedig egyértelmű módon – két szomszédos szám összegeként.

A szomszédok összegéből indulva vég nélkül határozhatunk neg különböző hasonló tulajdonságokat, de most nézzünk meg egy izgalmasabb lehetőséget. Ahogy említettük, minden két szomszéd szám totálisan különbözik osztóik vonatkozásában. De vajon lehetséges- hogy ennek ellenére saját összes osztóik száma legyen azonos (ezek lehetnének a D-barátok). A válasz igen, és nem is nehéz gyorsan akadni sz első, beleértve az első nem triviális példákra. Hiszen ilyen „triviális” módon már 2 és 3 is D-barátok.

Itt visszatérve a páros-páratlan kérdésre: könnyű észre venni, hogy a P és D-barát számok hol párosok, hol páratlanok, és erre vonatkozóan vélhetően érdemi szabályosság nem fedezhető fel Ellenben a Q-barát számok mind osztható 4-gyel (de nem mindig 8-cal).

A témát folytatjuk. Szívesen közlünk mások ezzel kapcsolatos eredményeit is.

Végül megadjuk a fenti három tulajdonságnak megfelelő első száz-száz számot

P-barát számok: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 18, 20, 21, 23, 26, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 41, 44, 48, 50, 51, 53, 54, 56, 63, 65, 68, 69, 74, 75, 78, 81, 83, 86, 89, 90, 95, 96, 98, 99, 105, 111, 113, 114, 116, 119, 120, 125, 128, 131, 134, 135, 138, 140, 141, 146, 153, 155, 156, 158, 165, 168, 173, 174, 176, 179, 183, 186, 189, 191, 194, 198, 200, 204, 209, 210, 215, 216, 219, 221, 224, 228, 230, 231, 233, 239, 243, 245, 249, 251, 254, 260, 261, 270, 273

Q-barát számok: 4, 12, 24, 40, 60, 84, 112, 144, 180, 220, 264, 312, 364, 420, 480, 544, 612, 684, 760, 840, 924, 1012, 1104, 1200, 1300, 1404, 1512, 1624, 1740, 1860, 1984, 2112, 2244, 2380, 2520, 2664, 2812, 2964, 3120, 3280, 3444, 3612, 3784, 3960, 4140, 4324, 4512, 4704, 4900, 5100, 5304, 5512, 5724, 5940, 6160, 6384, 6612, 6844, 7080, 7320, 7564, 7812, 8064, 8320, 8580, 8844, 9112, 9384, 9660, 9940, 10224, 10512, 10804, 11100, 11400, 11704, 12012, 12324, 12640, 12960, 13284, 13612, 13944, 14280, 14620, 14964, 15312, 15664, 16020, 16380, 16744, 17112, 17484, 17860, 18240, 18624, 19012, 19404, 19800, 20200

D-barát számok: 1, 2, 14, 21, 26, 33, 34, 38, 44, 57, 75, 85, 86, 93, 94, 98, 104, 116, 118, 122, 133, 135, 141, 142, 145, 147, 158, 171, 177, 189, 201, 202, 205, 213, 214, 217, 218, 230, 231, 242, 243, 244, 253, 285, 296, 298, 301, 302, 326, 332, 334, 344, 374, 375, 381, 387, 393, 394, 429, 434, 445, 446, 453, 481, 501, 507, 514, 526, 537, 542, 548, 553, 565, 603, 604, 609, 622, 633, 634, 645, 663, 664, 694, 697, 698, 706, 717, 724, 735, 741, 745, 766, 776, 778, 782, 793, 802, 805, 817, 819

* * *

Feladat 1. – Van-e két prím…

Létezik-e két a és b prím, hogy x²-ax+b=0 egyenletnek megoldása (két) egészszám?

* * *

MX-számok

A 2ⁿ-1 formájú számok imponálnak a forma extrém egyszerűségével, miközben régóta felbukkannak különböző izgalmas témáknál, mint pl. a prímszámoknál vagy a tökéletes számoknál. Idővel viszont lassan egy valóságos kultusz kezdett kialakulni az ilyen számok iránt, amiben kétségtelenül jelentős szerepe volt Marton Mersenne francia matematikusnak. Ezt később az utókor azzal hálálta meg, hogy róla nevezte el ezeket a számokat.

A Mersenne-számokról már az ókori matematikusok is tudták, hogy „gyakran” (de azért nem annyira gyakran) prímszámok. Ami viszont igazán érdekes, de mondhatjuk azt is, hogy bámulatos, az a tény, hogy ha 2ⁿ-1 prím, akkor n is prím! Fordítva nem igaz, vagyis van (sok olyan) prím n, hogy 2ⁿ-1 nem prím. Ettől függetlenül ez az összefüggés jó módszernek tűnt abban az esetben, ha prímszámokra vadászunk. Az emberek pedig évezredek óta vadásznak prímszámokra, és talán kissé meglepő módon, ma egyre nagyobb hévvel.

Természetesen a fenti összefüggés nem tűnik hatékony módszernek az egyik irányban, ti. az, hogy ha rábukkantunk egy új prímre, nézzük meg Mersenne-szám-e az, és akkor abban mi a 2 hatványa (hiszen akkor az biztosan prím). Több értelme van a fordított eljárásnak, még akkor is, ha különösebb hatékonyságról kár beszélni. Mégis, amióta elterjedtek a számítógépek, szinte tömegsporttá vált a „következő” Mersenne-prím keresése.

Ilyen számítógépes prímvadászat 1952 óta zajlik és az ebbe bevont népes közösség precízen követi nyomon, hogy ki mikor fedezett fel újabb (rendszerint egyre nagyobb) Mersenne-prímet, csakhogy közben senki nem tudja, hogy hány prím, ezen belül hány Mersenne-prím van az előző és az újabb rekorder között. Így ez a mozgalom lassan valóban inkább sport, szabadidő-eltöltés, mint tiszta matematika. De sznobok ne legyünk. Végül minden, ami ezzel a sporttal kapcsolatos visszahathat a legtisztább matematikára is.

Nos, nem állítom, hogy ez a bizonyos sport (közelebbi megismerését mindig halasztgatom), de a Mersenne-számok kultusza máris visszahatott rám. Az eredmény: a Mersenne-szám fogalmának általánosítása.

Valóban, miért csak a 2 alapú hatványokkal dolgozzunk?

Erre valóban semmi nem kényszerít minket, de nyomban felmerül egy probléma: a a prímvadászat továbbra is lebegni szeretne lelki szemeink előtt, olyan képlet, hogy xⁿ-1, nem sok jót ígérne, ha x páratlan. Vagyis két különböző formában kellene általánosítani a Mersenne-számokat:

- ha x páratlan, xⁿ-2.

- ha x páros, xⁿ-1

általánosított Mersenne-szám, illetve Mx-szám.

Szerencsére a szokásos matematikai jelölésrendszer lehetőséget ad a két definíció „összevonására:

Legyen x és n két természetes szám, akkor Mx(n)=xⁿ-n(mod 2)-1 egy (az n-edik) Mx-szám. Vagyis innentől kezdve Mersenne-számok helyett Mx-számokról beszélhetünk.

Bárki megkérdezheti: miért? Ennek ezer oka lehet, és senkinek nincs joga ebben megzavarni a matematikai kutatás örömteli munkáját. Én most többre nem is szeretnék vállalkozni, mint szemügyre venni, mit ígérnek ezek az új pályák a prímvadászatban? Találunk-e gyorsabban és több prímet, ha M3-számokon indulunk el, mint ahogy eddig tették, szinte kizárólag az M2-pályán. És ott van az M4, M5, M11, M31 stb.

Egy pálya helyett végtelen sok pálya áll előttünk, és az semmiképpen nem mellékes (a sportolók számára végképp), hogy ezeken az új pályákon jóval gyorsabban jutunk magasabbra.

De jók ezek az új pályák? Mindegyik?

Ez egyáltalán nem értelmetlen kérdés, ellenkezőleg, nyomban érdekességekkel szolgál. Ám fontos a kérdés jó megfogalmazása. Az első, amit érdemesnek tűnt tisztázni: ha egy adott x mellett nézzük az Mx(n) sorozatot, tartalmaz-e az prímszámot? És ha igen, melyik az első prím? Vagyis egészen precízen: melyik a legkisebb n, amikor Mx(n) prím?

Ez viszont egy x-től függő egészszámú sorozatot ad. Nem volt kiszámítani az első eredményeket, és így bejelenteni az OEIS-be. Ez megtörtént, és most ez a sorozat ott A332029 szám alatt megtalálható, a következő értékekkel.

Az OEIS-ben található értékek többsége Jinyuan Wangtól származik. Köszönöm értékes segítségét.

De mit is mond ez a sorozat első rátekintésre?

Először is feltűnő, hogy a páras Mx-pályák egyáltalán nem kínálnak prímet. A másik feléről pedig azt látjuk, hogy „egyből” adnak ugyan prímet, de majd egy alaposabb vizsgálat mutatja ki hamar, hogy ez a készség megtévesztő, ugyanis ez az első prím egyben az utolsó is.

Jóval biztatóbb és meglepően változatos. A páratlan Mx-pályák egyből prímmel kezdődnek, negyede a kettes hatványnál szolgáltat prímet, a maradék megoszlik magasabb hatványok között. Ezeknél mindenképpen meglepő milyen gyorsan jelentkeznek „nehéz esetek”. Végül is 23^24, 79^38 nagyságrendjéről lehet sejtésünk. De ne legyenek előítéleteink: semmi nem bizonyítja, hogy a nehéz esetek közé sorolható Mx-pályák prímvadászat szempontjából kevésbé ígéretesek lennének.

* * *