Mialatt
írtam A számok című könyvemet, többé vagy kevésbé érdekes sorozatok tucatjait
találtam ki. Egyeseket felírtam magamnak, másokat nem, de minden esetben
megvolt a szándék, hogy „majd egyszer” visszatérek ezekre.
Így a napokban elővettem az egyiket, és roppant érdekes tulajdonságokat
fedeztem nála, és – örömömre – annál több rejtélyt.
Mivel egész sorozatcsaládról van szó, úgy éreztem, jó lenne nevet adni
nekik. Így magamnak Arisztark-sorozatnak kezdtem hívni. Aki elfogadja ezt az
elnevezést, elfogadja, aki nem, nem. Mindenesetre Arisztark megérdemli
tiszteletünket.
De haladjunk sorjában!
Az alapsorozat a következő szabály szerint alakul:
a(1) = 1
ha n > 1, a(n) = a(n-1)/gcd(a(n-1), n) ha gcd(a(n-1), n) > 1, más
esetben, vagyis ha gcd(a(n-1), n) = 1, akkor a(n) = a(n-1)+n.
Szavakkal elmondva, ha az előző tag és n legnagyobb közös osztója nagyobb
1-nél )tehát valós osztó), akkor azzal elosztjuk az előző tagot, és ez lesz az
új tag, de ha az előző tag és n relatív prím, az őj tag az előző tag és n
összege.
Magában a szabályban semmilyen különösebb „csavar” nincs, érdeklődéssel
várhatjuk az eredményt.
Nos, ez akár csalódásnak is tűnhet, ugyanis ez a sorozat így néz ki:
1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, ….
Vagyis eléggé egyhangú és kiszámítható.
Ha ez lenne minden, akár el is felejthetjük a sorozatot.
De azért nézzük meg, mi történik, ha az első tag nem 1, hanem – a rend
kedvéért – 2!
Apró meglepetés. A sorozat most így néz ki:
2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, 1, …
Példaértékű rend és fegyelem, szinte szép! Bár minden sorozat ilyen lenne,
semmi gondunk nem lenne velük.
De a matematikus kíváncsi ember, megnézi, hogyan fest más kezdő tagok
esetén ez a sorozat, ha már ennyit beszélünk róla!
Nézzük meg, milyen a sorozat, ha az első tag 3!
Hát most kellene megkapaszkodni! A sorozat így néz ki:
3, 5, 8, 2, 7, 13, 20, 5, 14, 7, 18, 3, 16, 8, 23, 39, 56, 28, 47, 67, 88, 4,
27, 9, 34, 17, 44, 11, 40, 4, 35, 67, 100, 50, 10, 5, 42, 21, 7, 47, 88, 44, 87,
131, 176, 88, 135, 45, 94, 47, 98, 49, 102, 17, 72, 9, 3, 61, 120, 2, 63, 125, 188,
47, 112, 56, 123, 191, 260, 26, 97, 169, 242, 121, 196, 49, 7, 85, 164, 41, 122,
61, 144, 12, 97, 183, 61, 149, 238, 119, 17, 109, 202, 101, 196, 49, 146, 73, 172,
43, 144, 24, 127, 231, 11, 117, 224, 56, 165, 3, …
Kétségtelenül, ez az első két eset után döbbenetesen néz ki. Mondhatni
igazi random sorozat. Valóban, miféle összefüggéseket lehet itt felfedezni?
(Figyelem: ez csak egy provokatív kérdés.)
És most jöhet az igazi meglepetés! Éppen itt, ahol abbahagytam, ez a bizarr
rakoncátlan sorozat visszatér a jól ismert cizellált mederbe, és így
folytatódik:
1, 113, 1, 115, 1, 117, 1, 119, 1, …
Az eset enyhén szólva érdekes, és felfedezése után egy becsületes számász
nem hagyja ennyiben, hanem megvizsgálja az összes természetes számmal. (Nem
nagy úgy, ez a legkisebb végtelen halmaz.)
Mi tagadás, ez is egy érdekes sorozat, mikor tér vissza a sorozat a rendes
kerékvágásba.
Íme szerény első eredményei (itt most csak azokat az eredményeket adom meg,
amelyek egy folyamatos sort képeznek):
1, 2, 111, 7, 5, 3, 25, 22, 25, 111, 111, 4, 7, 5, 5, 6, 22, …
Miért ilyen sokszor fordul elő a 111, miért fordul elő kétszer is egymás
után (ha a sorozat 10-zel vagy 11-gyel kezdődik)?
Tucatnyi kérdés, tucatnyi rejtély. Azok egy részére bizonyára soha nem kapunk
választ, másokra igen. És én kíváncsian várom azokat.
Végül még egy fontos adalék, hogy felpezsdítsük az Arisztark-sorozatok
világában az életet. Nos, az alapképletben egy apró módosítás drámai módon
változtatja meg annak jellegét, nyoma nem marad e régi egyhangú medernek. Ez a
módosítás pedig az, hogy ha a gcd 1, akkor az új tag az előző és n összege,
mínusz 1. Ekkor a sorozat így fest:
1, 2, 4, 1, 5, 10, 16, 2, 10, 1, 11, 22, 34, 17, 31, 46, 62, 31, 49, 68, 88,
4, 26, 13, 37, 62, 88, 22, 50, 5, 35, 66, 2, 1, 35, 70, 106, 53, 91, 130, 170, 85,
127, 170, 34, 17, 63, 21, 3, 52, 102, 51, 103, 156, 210, 15, 5, 62, 120, 2, 62,
1, 63, 126, 190, 95, 161, 228, 76, 38, 108, 3, 75, 148, 222, 111, 187, 264, 342,
171, 19, …
Látjuk, itt az 1 felbukkanása nem tereli a sorozatot sehova, az unalom
kizárva.
Ennyi most az első híradás az Arisztark-sorozatokról.
*
* *
