A
prímszámokat – joggal – tartjuk az összes szám elemi részecskéjének. Közben az
a helyzet, hogy a számokról (majdnem) minden tudunk, éspedig precízen, de
magukról a prímszámokról csak számolásokkal nyert „empirikus” ismereteink és
különféle hipotéziseink vannak. Mintha valami elzárna a mindenható elméleti
kutatás útjait a misztikus prímekhez. Bár ez egy másik téma (amelyre érdemes
lesz visszatérni.)
Most négy összefüggő hipotézist vennénk szemügyre, a kapcsolódó „empirikus”
ismeretekkel.
Jól ismert fogalom az ikerprím. Itt arra kell ügyelni, hogy maga a terminus
alkalmazható egy számra is, számpárra is, és ez odafigyelést igényel. Tehát,
egy n szám ikerprím, ha prím és vagy n-2 vagy n+2 is prím. Vagyis n „közelében”
van egy másik prím. Két n és m szám pedig akkor ikerprím vagy ikerprímpár, ha
mind a kettő prím és n-m=2 vagy m-n=2. A témát és a megfogalmazásokat
elbonyolíthatja a prímek furcsa kezdete (2, 3, 4, 5, 7). Ez a „furcsa kezdet”
is egy külön téma (amelyre szintén érdemes visszatérni). Most annyival intézhetjük
a dolgot, ha a ikerprímszámokat 5-től kezdve számoljuk. És valóban, az első
„rendes” ikerpárok: (5,7), (11,13), (17,19) stb.
Nos, ezek az ikerprímek hatalmas érdeklődést váltanak ki, sokan
foglalkoznak velük, sokat lehet ezekről olvasni. De vajon, milyenek a nem
ikerprímszámok? Sokszor, ha van egy kiemelt aleset, mellette több más is lehet,
de itt nem ez a helyzet (hanem olyan, mint a párosszám fogalmánál: ha egy szám
nem páros, akkor páratlan, és ennyi). Valóban, ha egy prímszám „közelében”
nincs egy másik prím, akkor nincs, és ennyi. Jogosnak látszik az ilyen prímeket
egykének vagy magányosnak hívni. Vagyis minden prím vagy iker, vagy magányos,
harmadik eset nincs. Az első – számtanban reflexszerű kérdés az, hogy ezekből
végtelen sok van? Nos, erre ne nagyon várjunk elméleti, bizonyítható eredményt.
Hipotézisünk viszont lehet.
H1 (Kis ikerprím hipotézis)
Végtelen sok ikerprím létezik.
H2 (Kis egykeprím hipotézis)
Végtelen sok egykeprím létezik.
Az első hipotézis régóta ismert, bizonyára már akkor megfogalmazhatták,
amikor először beszéltek ikerprímekről. Csupán annyi fűzhető hozzá, hogy sokan
próbálkoztak a bizonyításával, és gyakran részeredményekről számolnak be (egy
öreglány ostromlásának részeredménye az is lehet, hogy ő már félig szűz, de itt
még messze vagyunk ettől). A kérdés viszont valóban érdekes, mert az állítás
semmiképpen nem mondható nyilvánvalónak.
Ezzel szemben a H2 hipotézis kétségbe vonása színtiszta abszurditás lenne.
Bárki joggal mondhatja: ez az állítás végtelenül triviális. Valóban. Ránézésre.
De tessék bebizonyítani! Én ugyanolyan reménytelennek látom ennek az állításnak
a bizonyítását, mint a H1-é, és éppen ezért meg is érdemli az írásos hipotézis
státuszt. Közben nem zárom ki, hogy ez ebben a formában először lett leírva.
Most menjünk tovább e két állatfaj vizsgálatában.
Kézenfekvő és jogos kérdés: ha ez a kétfajta prímszám va, és vélhetően mind
a kettőből végtelen sok van, hogyan oszlanak ezek? Nyomban szembetűnik, hogy az
ikrek erősen indulnak: az 5-tel kezdődő hat prím mind iker, de 100-ig nézve is
szép számban vannak. Legelőször viszont rögzítsük, hogy leszámítva az indulási
kuriózumot, ahol 3, 5 és 7 három egymást követő iker, hármas ikrek nincsenek,
ami – könnyen – bizonyítható.
Lemma 1.
Ha p és p+1 prím, p+3 nem prím.
Ebből az adódik, hogy minden ikerprímpár után kell „pihenő”. Rendben van,
jöjjön a pihenő, de a pihenő önmagában nem dönti el, hogy utána iker vagy egyke
következik. Pl. 7 után iker, 19 után egyke következik. Ebben vegyül is nincs
semmi meglepő, hogy az ikerprímpárok csoportokat alkothatnak. Nem túl nehéz
feltérképezni ezeket. Így készíthetünk olyan sorozatokat, amelyek beazonosítják
(első tagjukkal) a különböző csoportokat. Nehezebb kérdés az, hogy mekkorák
lehetnek ezek a csoportok. Teljesen érthető, hogy minél nagyobb ilyen
csoportokat keresünk, annál ritkábban találunk ilyeneket. És itt meglepően
gyorsan jelentkeznek a nehézségek. Már az 5 ikerprímpárból álló csoportok
felfedezése is hatékony számítástechnikai segítséget igényel. Jelenleg a kutató
verseny a 10-es csoportoknál akadt el. Persze, nem lehet kétségünk, hogy az
egyre nagyobb számítógépjeink további haladást érnek el, felfedezzük 11-es és
12-es csoportokat, de ezeknek a tagjai már felfoghatatlan számok.
Mégis, az emberi elme ennyivel nem ér be. Az a kérdés: bármilyen n szám
esetén, létezik-e n ikerprímpárt tartalmazó csoport? Erre se számítsunk
elméleti eredményre, de legyen bátorságunk megfogalmazni a harmadik hipotézist
is:
H3 (Nagy ikerhipotézis)
Bármilyen természetes n számhoz létezik n-tagú ikerprímpár-csoport.
Mielőtt tovább mennénk, tekintsünk néhány idekapcsolódó sorozatot
Az ikerprímpárok kezdő számai:
3,
5, 11, 17, 29, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 227, 239, 269,
281, 311, 347, 419, 431, 461, 521, 569, 599, 617, 641, 659, 809, 821, 827, 857,
881, 1019, 1031, 1049, 1061, 1091, 1151, 1229, 1277, 1289, 1301, 1319, 1427,
1451, 1481, 1487, 1607 (OEIS: A001359)
A kettes ikerprímpár-csoportok kezdő számai:
5,
11, 101, 137, 179, 191, 419, 809, 821, 1019, 1049, 1481, 1871, 1931, 2081, 2111,
2969, 3251, 3359, 3371, 3461, 4217, 4229, 4259, 5009, 5651, 5867, 6689, 6761,
6779, 6947, 7331, 7547 (OEIS: A053778)
Összefoglaló – Az n tagú ikerprímpár-csoportok kezdő számai:
3,
5, 5, 9419, 909287, 325267931, 678771479, 1107819732821, 170669145704411,
3324648277099157 (OEIS: A111950, 2011-ben Lévai Gábor hírt adott arról, hogy
talált 11-es csoportot)
Most fordítsuk figyelmünket a kissé háttérbe szorult egykeprímekre.
Legelőször mondjuk ki a negyedik ígért hipotézist is:
H4 (Nagy egykeprím-hipotézis)
Bármilyen n természetes számhoz létezik n tagú egykeprím-csoport.
Kétségtelenül ez is a H2-höz hasonlóan „kézenfekvő” állítás, de itt is
elmondható az, hogy nem tűnik formálisan bebizonyíthatónak. Ettől függetlenül
itt is megtehetjük az ikerprímekhez hasonló számításokat, amelyek az
egykeprímek esetében valamivel gyérebben találhatók a szakirodalomban.
Az egykeprímek:
23,
37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97, 113, 127, 131, 157, 163, 167, 173, 211, 223,
233, 251, 257, 263, 277, 293, 307, 317, 331, 337, 353, 359, 367, 373, 379, 383,
389, 397, 401, 409, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 541,
547, 557, 563 (OEIS: A007510, bár ez –véleményem szerint – helytelenül
tartalmazza a 2-t is)
A kettős egykeprím-csoportok kezdő száma:
47,
79, 83, 89, 113, 127, 157, 163, 167, 211, 251, 257, 293, 317, 331, 353, 359,
367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 439, 443, 449, 467, 479, 487, 491, 499, 503,
541, 547, 557, 577, 587, 607, 647 (OEIS: A126095)
És az egykeprímes csoportokra vonatkozó összefoglaló, vagyis az n-tagú
egykeprím-csoportok kezdő száma:
*
* *
Nincsenek megjegyzések:
Megjegyzés küldése