Tau komplex számokon

 

Amikor az osztók száma nagyobb magánál a számnál

 

A tény, hogy egy prím felírható két komplex egész nem triviális szorzataként bizonyára sokak számára igen meglepő, akár döbbenetes is lehet.

Meglepő vagy nem, a tény igaz, és helyes lenne körbe járni. Hátha nem minden prím „árulja el” ősi, építőkocka jellegét. Gyorsan be lehet látni. hogy minden prím „áruló”. Mi több. látjuk, hogy minden prímszám meglepően sokféleképpen írható fel nem triviális szorzatként. (Mellesleg teljesen igaza lenne, ha valaki unná a meglepetés emlegetését, hiszen ez valóban nem matematikai fogalom).

Lássunk egy példát! A népszerű 13 nem triviális osztóinak száma… 14!

 

-13+0i, -3-2i, -3+2i, -2-3i, -2+3i, -1+0i, 0-13i, 0-1i, 0+1i, 0+13i, 2-3i, 2+3i, 3-2i, 3+2i

 

De ha erre képes a 13, miért csodálkozzunk, hogy a 12-nek 38 nem triviális osztója akad a komplex egészek körében. Most mindenre felkészülve nézzük meg az összes természetes szám nem triviális osztóinak számát 1 és 100 között! Ezek:

 

3, 10, 6, 18, 14, 22, 6, 26, 10, 46, 6, 38, 14, 22, 30, 34, 14, 34, 6, 78, 14, 22, 6, 54, 34, 46, 14, 38, 14, 94, 6, 42, 14, 46, 30, 58, 14, 22, 30, 110, 14, 46, 6, 38, 46, 22, 6, 70, 10, 106, 30, 78, 14, 46, 30, 54, 14, 46, 6, 158, 14, 22, 22, 50, 62, 46, 6, 78, 14, 94, 6, 82, 14, 46, 70, 38, 14, 94, 6, 142, 18, 46, 6, 78, 62, 22, 30, 54, 14, 142, 30, 38, 14, 22, 30, 86, 14, 34, 22, 178

 

Határozottan az az érzésem, hogy itt még rengeteg érdekesség vár ránk.

 

* * *

 

Egy drámai találkozás

 

Minden prímszám felírható két egész szám nem triviális szorzataként, vagyis úgy hogy egyik tényező sem 1 – ezt kellett észrevennem.

Bevallom, különleges élmény volt. Első hallásra ez valóban apokalipszis a klasszikus számelméletben.

Feloldja a döbbenetet a helyzet apró részlete: a két egész szám, amelynek szorzata adja a prímet, komplex egész szám:

(4+5i)(4-5i) = 41

Hasonló, vagyis (k+5i)(k-5i) számok között sok prímet találtam, számuk bizonyos végtelen (de ez egyelőre maradjon hipotézis). Ezek:

 

29, 41, 61, 89, 281, 349, 509, 601, 701, 809, 1049, 1181, 1321, 1789, 2141, 2729, 3389, 4649, 5209, 5501, 5801, 8861, 9241, 9629, 10429, 11261, 11689, 12569, 15401, 15901, 17449, 17981, 18521, 19069, 21341, 21929, 23741, 24989, 26921, 27581, 33149, 39229, 40829, 41641, 42461, 45821, 46681, 52009, 53849, 55721, 59561, 68669, 71849, 79549, 80681, 86461, 87641, 91229, 94889, 97369, 98621, 99881, 101149, 107609, 111581, 112921, 114269, 116989, 118361, 126761, 128189, 133981, 135449, 139901, 145949, 147481, 149021, 153689, 156841, 158429, 169769, 173081, 174749, 179801, 181501, 186649, 190121, 195389, 197161, 198941, 204329, 209789, 226601, 228509, 234281, 252029, 254041, 264221, 266281…

 

Hasonló sorozatokat találunk, ha a fenti képlet az 5 helyébe bármilyen más számot írunk be. Ami érdekes, az első négy esetben mind olyan sorozatot kapunk, amely ismert az OEIS-ben – de nem az itt jelzett tulajdonság miatt, hanem a kapcsolódó képlet kibontott formájára hivatkozva:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 - https://oeis.org/A002144

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257 - https://oeis.org/A002496

 5, 13, 29, 53, 173, 229 - https://oeis.org/A005473

13, 73, 109, 409, 1033 - https://oeis.org/A138353

17, 41, 97, 137, 241, 457 - https://oeis.org/A243451

 

A fenti megfigyelés után egy sor izgalmas kérdés merült fel bennem. Ezek többségére már meg is találtam a választ. Ezeket egy következő bejegyzésben osztom meg.

 

* * *

 

A prímszámok legendája

 

Volt egyszer egy legenda, mi szerint a 2, 3, 5, 7, 11 és még sok más szám prím, vagyis 1-en és saját magán kívül más egész számmal nem osztható.

A legenda ma is tartja magát, de van egy hírem: nem igaz.

Sajnos, most még nem tudom biztosan megmondani, hogy minden legendabeli prím összetett szám-e, illetve nincsenek-e ellenben újq eddig nem felfedezett igazi prímek.

Gondolkozom, és ha vannak híreim, jelentkezem.

De addig is, hamarosan megosztok részleteket a legenda leleplezéséről.

 

* * *