A teoriológia

 

„Adva van egy háromszög. Egyenlőszárú-e?” – kérdi szigorúan a tanár. „Annak látszik.” – válaszol a diák.

Meglehetősen abszurd párbeszéd. Aki egy kicsit is ismeri a matematikát, tudja, hogy abban a „látszat” semmit nem bizonyít. Két eljárás van megengedve: a megfelelő bizonyítás és a megfelelő mérés, vagy általánosabban: a megfelelő észlelés.

Mi „megfelelő bizonyítás”, távolról sem egyszerű kérdés, de azt most zárójelbe tesszük (bízva, hogy hamarosan visszatérhetünk erre is).

De mi a megfelelő észlelés és mérés? Ezen a téren – eddig – nem volt igazi rend és törvény, de most belekezdünk ennek pótlásába.

Két nagy elméleti tudományterület van, ahol a megfigyelés komoly szerepet kap: a geometria és a fizika. Különösen látványossá vált a megfigyelő szerepe a modern fizika forradalmával. Mintha a folyamatok elveszítették volna abszolút vagy objektív jellegüket, és döntő elemmé vált az, hogy azokat ki hogyan észleli. (Igaz, már Galilei is foglalkozott a relatív mozgás észlelésének paradoxonjaival.) Kózismert már, hogy a kvantumfizika természeti törvénynek fogadta el, a világ alapjai aszerint viselkednek, hogy azokat valaki megfigyeli-e.

Nem beszélve az emberi megfigyelés igazi csődjéről: az évezredekig nem volt képes helyesen értelmezni az éjjel-nappal figyelt kozmosz felépítését.

Visszatérve a geometria fontos és szelíd világába, válasszuk ketté a kutatási területünket: egyszerű, „puszta szemmel” végzett megfigyelésekre, és („már a régi görögök által is ismert”) szerkesztésre vonalzóval és körzővel (és krétával).

A két terület közös nevezőjévé érdemes egy mitikus figurát, egy bizonyos (kitalált) Theorisztoszt tenni, akinek feladata észlelni és szerkeszteni.

A nagy kérdés: milyen (emberi és emberfeletti, netán „mesterséges”) képességekkel ruházzuk fel őt, mi legyen megengedve és mi tiltva neki?

Ez pedig már nem más, mint a megfigyelés és az észlelés tudománya, a teoriológia.

A geometriai szerkesztés szabályai kellően ismertek, de talán nem kellően rendszerezettek egy igazi axiomatikus elmélettől elvárható módon. Pl. ki kell mondani, hogy Theorisztosz akárhányszor képes behelyezni a körzőt egy adott pontra, hogy mindig képes eldönteni, hogy egy pont rajta van-e egy egyenesen vagy vonalon stb. De szép számmal adódnak nehezebb kérdések, pl. ráhelyezhető-e a körző egy egyenesre vagy vonalra, ha azon nincs megjelölt pont. Érdekes („többesélyes”) kérdés, hogy a körző ráhelyezésre olyan pontra, amely előtte nem volt „megadva”, megjelöli-e a pontot.

Izgalmas kérdés „törölhető-e egy pont, egyenes, vonal stb., ahogy a tanár is törli azokat a szivaccsal a feketedeszkáról?

Egy még nehezebbnek látszó kérdés: meghúzható-e érintő egyenes két körhöz.

Különösen fontos lenne sorra venni azokat az észleléseket, amelyeket „megengedünk” Theorisztosznak, mint pl. azt, hogy rajzoljon egy vonalat és jelöljön két pontot az egyenes két oldalán. Itt hamar kiderülnek a különböző észlelési kategóriák és kompetenciák.

Ez a teoriológiai kísérlet az emberi elme ártatlan szellemi kalandja. Ma még nehéz eldönteni, hogy keveset vagy sokat ígér, de különösen most, a mesterséges intelligencia, a gépi tanulás fejlődésének viharos időszakában okozhat meglepetéseket.

 

* * *

 

Ontológia

 

Nevet adni nem egy könnyű, ám annál fontosabb aktus. Nomen  est omen, emlékeztet az évezredes bölcsesség (vagy megfigyelés?, végül bölcsesség és megfigyelés igen hasonló fogalom).

Egy érdekes geometriai jellegű kérdéssor fonódott-szövődött bennem, mondhatnám, egész életemben. Egy adott ponton összeállt egy „szigorúan nem-euklideszi geometria” vázlata – amely nem attól nem euklideszi, mert itt valami „rendellenes van a párhuzamos egyenesekkel, hanem azért, mert benne nincsenek… pontok. Ugyanúgy nincsenek pontok, ahogy a világon nincsenek atomok (hanem elemi részecskék és ki tudja mi még szerkezetei). És ettől nem egészen függetlenül, pontok sem „léteznek”.

Később, egy eléggé más koncepció számára elővettem a kissé suta csempegeometria nevet.

Ez az új nyom egyre izgalmasabbnak bizonyult és jó új nevet várt magának. Kellő gondolkodás után arra jutottam, hogy ez a név az ontológia lehetne.

Minden művelt ember tudja, hogy az ontológia a filozófia egy fontos, megbecsült ága. Illendő lenne-e „kölcsön” venni, és egyáltalán, miért ezt kellene választani?

Geometria, topológia, ontológia. Érdekes névsor. Mellékesen: miért geometria és nem geológia, esetleg geometrológia?

Félretéve az etimológiai és az esztétikai kérdéseket, mutassunk a lényegre. Ezek a matematikai diszciplinák arra valók, hogy valamiképpen lássuk és megértsük a világot. Egyik sem maga a világ, az „igazság”, hanem specifikus eszköz, látásmód. Az építészek, térképkészítők, a politikusok, a csillagászok és sokan mások számára a geometria a Biblia. Egyes hivatásos matematikusok számára a topológia kedvenc indiánvár. Az ontológia pedig a világ matematikai modelljének a tudománya, abban a megközelítésben, amelyet felvázoltam A világ c. könyvemben. Ez két két mondatban összefoglalva: Tér nem létezik. A világ térsejtekből épül. (Ez az összefoglaló csak a könyv térre vonatkozó részét summázza.)

Igen, az ontológia arra lehet jó, hogy a legkülönfélébb, beleértve dinamikus modelleket készíthessünk a világ mélyebb megértése érdekében. Ezt szolgálja az is, hogy az ontológiának két alapvető eleme van: sejt és kapcsolat. Amig a geometriában pontból és egyenesből indulunk, az ontológiában az egyenest deginiálni „kell” és lehet.

Az ontológiáról általánosságban most ennyi. Minden következő szó elvezetne valamelyik speciális esethez 3-as, 4-es, 6-as ontológia stb.). Az érdekes dolgok ott kezdődnek, de ehhez egy kis türelmet kell kérnem.

A türelmetlenek ne is várjanak rám. A pálya szabad.

 

* * *

 

Kérdés – Mennyi a szög

 

Ma ébredéskor rám ugrott egy kérdés: hány fokra kellene medönteni a négyzetet balra, hogy jobb felső csúcsa megérintse a felső egyenest?

A helyzet megértéséhez tudni kell, hogy2*r távolságra rajzoltunk két vízszintes egyenest (a vízszintesség nem matematikai fogalom, ezt a vizuális magyarázathoz mondom).

A két egyenes közé rajzoltam egy r súgarú kört, amely így egy-egy ponton érintkezik az egyenesekkel. A kérdés szempontjából ennek a körnek semmi szerepe, semmi jelentősége, de így kerek a mese.

Jobbra a körtől, nem messze tőle az alsó egyenesen áll egy olyan négyzet, amelynek a felülete megegyezik a kör felületével. Vegyük olybá, hogy sikerült a kör négyszögesítése. Nem kell túl nagy intelligencia, hogy világos legyen: a négyszögünk oldala kisebb a kör átmérőjénél, így, fájdalom, a négyzetünk nem érinti a felső egyenest.

Ahhoz, hogy megtörténjen az érintés csodája a négyzetet egy kicsit meg kell billenteni, mondjuk balra, a kör felé (a formák között is lehet érvényes az összetartozás ereje).

Tehát hány fokra kellene megbillenteni a négyzet alapját, hogy a négyzet jobb felső csúcsa (sarka) éppen a felső egyenesre kerüljön (miközben a bal alsó csúcs nem hagyja el az alsó egyenest.

Első látásra a szög kiszámítása nem látszik nehéznek, de odafigyelés és némi idő kell hozzá.

Szerintem „logikusnak” látszik, hogy a szög értéke nem függ a kör sugarától, de ezt nem merem biztosra állítani. (Az itt használt „logikus” jelző megint nem matematikai fogalom.)

A keresett szögnek biztosan lesz valami köze a Píhez, ezért nevezhetjük akár pisai szögnek. (Érdekes lenne tudni, mennyi a Pisai Ferde Torony dölési szöge. Semmilyen csodát nem tudok kizárni.)

 

 

* * *

 

Számtani számvetés

 

Mindennek van rendelt ideje. Ezt jó tudni, de még fontosabb azt megérezni, hogy mikor van valaminek a neki rendelt ideje. Nem könnyő feladat, mert az időpont megfelelősségét különböző szempontokból lehet nézni.

Például most is: mi volna az igazi szándékom az alábbi összeírás? Számvetés, mielőtt letenném a lantot. Vagy éppen ellenkezőleg: terepszemle új csaták előtt? Vagy talán egy harmadik szempont játszik némi szerepet: partnerkereső kirakat? Ebben az esetben akár elkésettnek is mondható a számvetés.

Nos, lássuk ezt a bizonyos számvetés. Még csak annyi, hogy az alábbi listának volt egy előzménye: egy másik lista a fontosabb témák, amelyekkel emlékezetem szerint foglalkoztam életem során. Ez nem publikációs lista volt, mert igen sok témában ilyen nem volt, másrészt van néhány téma, amelyben több publikáció is áll. Nézegetve-tanulmányozva ezt az első listát arra jöttem rá, hogy az hosszú és túlságosan heterogén, ami a témák összetettségét és fontoságát illeti. Így próbáltam segítségével meghatározni azokat a témaköröket, „diszciplinákat”, amelyekkel komolyabban foglalkoztam. Aztán erre az aggregált listára felkerült 2-3 speciális eset. Ezek olyan témakörök, amelyekkel eddig alig foglalkoztam, de módfelett érdekelnek és vonzanak, illetve az utolsó egy merőben új témakör, amelynekelképzelése, koncepciója egyelpre csak a fejemben van. Ezért is tartom jónak ezt a számvetést, mert utána még erősebb lesz a motiváció, hogy papírra vessem azt, ami a fejemben izgatottan várakozik, vagy – néhány esetben – szeretnék majd foglalkozni.

Íme, a témakörök:

Dinamikus rendszerek

Aritmetika

Számrendszerek

Egyiptomi törtek

Logika és axiomatológia

Kvantumgeometria

Matematikai nyelv

 

Röviden ezekről:

Dinamikus rendszerek – Igen képlékeny fogalom, sokféleképpen lehet meghatározni ezeket. Az alapkoncepció szerint ez néhány paraméter (változó) viselkedése „az időben”, de úgy, hogy a paraméterek értékei függnek a paraméterek értékei az előző időpntban. Ezeket az összefüggéseket a konkrét dinemikus rendszer egyenletei. Ezek a rendszerek nyilvánvalóan és ténylegesen jól modellezhetnek mindenféle valóságos folyamatokat. A lenyűgőző ebben, hogy az egyszerűbb elvont rendszerek gyakran instabilok, a valamiféle rend és logika hamar káoszba fordul. Ennek a káosznak a tanulmányozása rendkívül izgalmas, de a  egy-egy tanulmányozandó jelenség jó modellezése is igazi szolgálat.

Aritmetika – Az antik korban a matematikának két nagy ága volt: aritmetika (számtan, számelmélet), és a geometria. Hozzám mindig is az első állt közelebb. Benne tucatjaival találtam kihívást és csábítást jelentő részterületeket, témákat, de mindig is érdekelt az aritmetika különleges matematikai-filozófiai-episztemológiai-ontológiai egysége, amelyet igyekeztem érzékeltetni A számok című kötetemben. Közben érzem, hogy komoly új ismeretek és felismerések előtt állunk.

Számrendszerek – Ez egy speciális része a számelméletnek, de mint téma számomra egyenragú kutatási területté vált, nemcsak a Szimi számrendszer miatt.

Egyiptomi törtek – Ez egy hasonló eset: az aritmetika viszonylag ritkán tárgyalt, egy kissé egzotikus témája, amelyben én nem csak izgalmas szépséget találtam, hanem lehetőséget olyan koncepciókra (pl. a nílusi számok), amelyek DNS-analógiák keresését teszi lehetővé a világban, ahogy már Püthagorasz is sehtette.

Logika és axiomatológia – Azóta gondolkodunk, amióta logikusan gondolkodunk, és azóta csinálunk matematikát, amióta axiomatikusan gondolkodunk, mégis nagy és nehéz kérdések előtt állunk.

Kvantumgeometria – Régóta izgat és csábít a pont nélküli geometria lehetősége. Szerintem, amióta tudjuk, hogy az atomnak (bonthatatlannak) tartott atomok elemi részecskékből állnak, és általában Max Planck munkássága után morális és szellemi kötelességünk foglalkozni a pont nélküli geometria kérdésével. Ebben nagy impulzus adtak számomra azok a gondolatok is, amelyeket megosztottam A világ című kötetemben.

Matematikai nyelv – Az egyik legmerészebb tervem megvzsgálni egy sajátos matematikai nyelv lehetőségét. Egyetemista korom óta lenyűgöz – és egyben be nem vallott csalódás a Principia Mathematica. Szerintem ezt a kísérletet nem azon az úton kellene indulni, mint Russell és Whitehead, hanem Eukleidész axiómarendszerének konvertálásával egy ilyen új matematikai nyelvre.

 

 

* * *

 

A csempe-geometria

 

Diákkorom óta fenntartásaim voltak a pont fogalmával a geometriában. Végül is akkor kezdték egymás után felfedezni a „bonthatatlan” atom alkotó részeit, és a jelek arra mutattak, hogy itt nem várható megállás.

De ekkor hogyan lehet fenntartani a pont elvét, vagyis azt, hogy az nem bontható, elemezhető, modellezhető stb. Semmi. Egy tűszúrás. Lehetne mondani: átjáró a túlvilághoz, csak éppen annyi kicsiny, hogy semmit nem látunk rajta keresztül.

Így idővel egyre élénkebben foglalkoztatott a gondolat, hogy lehetséges-e egy alternatív – „nem-euklideszi” – euklideszi geometria, amely minden másban euklideszi, de éppenséggel nem posztulálja, pontosabban kizárja a pontok létezését?

Rá kellett jönnöm, hogy aki Á-t mond…, annak az egyenes és a sík létezését kell megtagadnia, általában mindent, amelynek valamelyik mérete 0. A lemondás nem tűnt fájdalmasnak. Annál inkább, hogy azonnal kínálta magát egy remek modell: az euklideszi tér a maga nyílt formáival (részhalmazaival).

Tehát a koncepció adva volt, és izgalmas munka kínálkozott.

Ekkor viszont történt egy szerencsétlen fordulat. Kutatva a témát, találkoztam olyan információkkal, miszerint „nem régen” más matematikusok is vizsgáltak hasonló problémákat és egy sor eredmény született egy új matematikai ágban, amelyet, hogy, hogy nem, non-kommutatív geometriának lett elnevezve. Az ide vágó munkák az absztrakt algebra olyan  magaslatai körül keringtek, hogy sok évet igénylő felkészülés nélkül nehezen követhetők. De a lényeg mégis az volt számomra, hogy ezek a kutatások nem a „pontnélküliségre” fókuszáltak, hanem éppen ellenkezőleg, ez az alapkoncepció teljesen eltűnt.

Így az egész érdeklődésem a téma iránt is hibernálódott, pedig továbbra is azt vallom, hogy ennek a koncepciónak még fontos szerepe lehet a világ szövetének megértésében.

És lám, ma, már nem is tudom, miből merítve impulzust, elképzeltem egy egészen más, első látásra hihetetlenül izgalmas modellt.

Ez pontosan az ellentéte az előbb említett nyilt térbeli formáknak. Úgy is mondhatjuk, hogy ez egy diszkrét modell (ez nem társasági fogalom, a matematikusok használják bizonyos esetekben).

Nos, ezt a modellt csempe-geometriának is nevezhetjük, mert benne nincsenek pontok, hanem csempék.

És itt mindjárt háromfelé mehetünk, hiszen a szabályos háromszög, négyszög és hatszög kínálja magát. Ez lehetne a három fő felekezet, amelyek között lehet választani kedvencet, tudva, hogy a három geometria különböző tulajdonságokkal rendelkezik.

Azt is érdemes megegyezni, hogy ez a három alapmodell intuitíve azt valósítja meg, hogy „nem hagyunk vákuumot”. Ha viszont mi nem a „szokásos” geometriai vizualitást keressük, hanem jó az emberi agy víziója, akkor akár végtelen sok alternatív modellt is megalkothatunk (bár ekkor nem csempe-, hanem sajtgeometriáról lenne helyes beszélni.

Én a mai nap egy részét arra szántam, hogy elemezzem a négyzetes csempegeometriát, és be kell vallanom, remek játék, sok-sok meglepetés. Definiáltam az egyenest, az átlós egyenest, a két csempe (volt pont) közötti utat, távolságot. Igen izgalmasnak tűnik a hagyományos geometria nem igen ismert hálózat fogalmát.

Mindenki őrizze meg a nyugalmát: a csempe-geometriában is igaz, hogy egy egyenesen kívüli csempén egy és csak egy párhuzamos egyenes létezik.

Azért döbbenetes meglepetések is vannak (Püthagorasz most ne figyeljen ide): ha a, b és c egy egyenlőszárú derékszögű háromszög oldala a+b=2c, hiszen a=b=c

Hogy mit adhat nekünk a csempe-geometria néhány szórakoztató példán kívül.

A jövő tudja a választ.

 

* * *

 

A bolsevik számok

 

Ebben a történetben végig egy 3x3-as mátrix lesz a szereplő, amelyben az értékek 0 és 1 lehetnek.

Az elmés olvasó nyomban észreveszi, hogy ez így nem más, mint a legfeljebb 9 – bináris – számjegyből álló számok halmaza. A legfeljebb 9 számjegyű bináris számok száma egyáltalán nem olyan nagy (ahogy a 9 meg a hatványozás hallatára gondolhatnánk): 512.

Semmi gond, így vélhetően a következő kérdések sem lesznek annyira gyötrőek.

Először adjunk nevet fenti számaink egy csoportjának. Elnevezhetjük azokat lilának vagy szépnek, de ezek már gyakran használt, nem túl ötletes jelzők. Legyenek inkább: bolsevik számok. A pontos definíció pedig a következő: egy legfeljebb 9 számjegyű bináris szám bolsevik akkor és csak akkor, ha öt egyest tartalmaz.

Látható, hogy az elnevezésnek nincs a matematikától oly idegen politikai felhangja, csupán azt fejezi ki, hogy benne az egyesek eggyel többen vannak a kisebbségben lévő nulláknál. Merő véletlen (történelmi kuriózum), hogy a bolsevikok is éppen eggyel többen voltak a mensevikeknél.

Nos, az első kérdés: hány bolsevik szám van?

Annak, akinek a válasz nem egyből tudható, érdekes lehetne először tippelni.

A második kérdés viszont némi előkészítést igényel, ezért erre egy következő posztba térek vissza, de egyébként is illik egy kis szünetet tartani azok számára, akik szeretnének gondolzni a válaszon..

  

* * *

 

Apeva aritmetika 1.

 

Parnasszus újdonságait kevésbé ismerők kedvéért: az apeva egy ötsoros vers, amelynek sorai rendre 1, 2, 3, 4 és 5 szótagot tartalmaznak.

Felmerül a következő kérdés: adva van a ls b, két természetes szám. Az a, ab, ab², ab³, ab⁴ számok (ezt nevezzük a Pegazus-számpár Pegazus-számötösének) számjegyeinek száma megfelel-e az apeva-szabálynak. Ebben az esetben a számpárt Pegazus-számpárnak hívhatjuk, egyébként – a rend kedvéért – nem-Pegazus számpárnak.

Világos, hogy minden természetes számpárról könnyen és egyértelműen megállapítható Pegazus-e vagy sem, aza minden számpár vagy Pegazus vagy nem-Pegazus.

Az is világos, hogy ha a,b Pegazus szám, a 10-nél kisebb természetes szám.

Ami esetleg nem egyből annyira világos mindenki számára, de amire gyorsan találunk választ: egyáltalán létezik-e Pegazus-számpár?

Nos, az 1,10 számpár az, tehát megnyugodhatunk, Pegazus-számpár létezik.

Kis vizsgálódás, és a felől is megnyugodhatunk, hogy nem kevés ilyen létezik, bár biztosan nem végtelen sok (ami a számtanban egy nem túl nagy elvárás). Először is, mivel a csak kilenc szám lehet (1-től 9-ig), és minden a esetén a b számára adva van egy felső határa (99/d egész része), sejthető, hogy a Pegazus-számpárok nincsenek „túl sokan”.

És innentől kezdve ezek megismerése nem túl bonyolult (és nem túl izgalmas) számolás.

Érdekes kérdések viszont adódhatnak, éspedig egy meglehetősen unikális módon, amikor apevákat veszünk matematikai objektumoknak.

De egyelőre megmaradva a matematikán belül: egy Pegazus-számpárt teljesnek nevezünk, ha Pegazus-számötösében előfordul az összes számjegy 1-től 9-ig, és tökéletesnek, ha mind a 10 számjegy előfordul benne. A fogalom úgy általánosítható, hogy a Pegazus-számötös található számjegyek számát a számötöst generáló Pegázus-számpár rangjának nevezzük. De figyelem: egy 9-es rangú Pegazus-számpár nem feltétlenül teljes (egy 10-es rangú viszont biztosan tökéletes).

Például 9,7 9-es rangú, mert a Pegazus-számötöse 9,63,441,3087,21609. Ugyanakkor nem teljes, mert nem szerepel benne 5.

Léteznek-e teljes, illetve tökéletes Pegazus-számpár?

Teljesre már akadtam: 2,13. Az ebből adódó Pegazus-számötös 2,26,338,4394,57122. Gyönyörűséges, nemde?

Mi marad hátra? Megalkotni egy olyan apevát, amely kilenc szótagot használ, és azokat megfelelően megsorszámozva, ezt a mintát kapjuk. A feladat vélhetően egy hatalmas élmény lesz a nyelvzsenik számára.

És itt beléphet az apeva a matematika birodalma. Ahogy említettük, minden apeva 15 szótagot tartalmaz. Könnyedén definiálhatjuk rá az imént bevezetett rang-fogalmat: ahány különböző szótagot használ egy apeva, annyi a rangja. Mi sem természetesebb, hogy egyes szótagok ismétlődnek (ezek jogosan azonosíthatók akkor is, ha eredetük merőben eltérő, például egy „a” lehet egyszer egy névelő, máskor az ara első szótagja). Bizonyára rendkívül ritka kuriózus a 15-ös rangú apeva, de hasonlóképpen a 6-7-nél kisebb rangú. Most annyit mondhatunk, hogy a 10-es és annál kisebb rangú apevák „reprezentálhatók” „apevás” számötösökkel.

Hogy ez az egész mire jó? Hát arra, hogy a művészet vilából átranduljunk a matematika játékos világába, aztán mehetünk is vissza felugrani a szertelen pegazusra

 

* * *

 

Pitagorasz tétele, 3 dimenzióban

 

Felmerült bennem: érvényes-e Pitagorasz tétele, illetve egy hasonló állítás a térben (azért első lépésben szerényen megmaradva a 3 dimenziós térben)?

Természetesen sík akárhány dimenziós térben is létezik, és abban a síkban értelmezhető és érvényes a Pitagorasz tétel. De ha már térben vagyunk, szakadjunk el a síkbeli háromszög. Ami nem is olyan nehéz. Mi más lenne a térbeli „háromszög”, ha nem a tetraéder? És mi más lenne a térbeli „derékszögű háromszög”. Azt viszont pontosítani kell, hogy mit tekintünk derékszögű tetraédernek, hisz több értelmezés is lehet. Mi azt a meghatározást fogadjuk el, hogy derékszögű tetraéder az a tetraéder, amelynek egyuk (derékszögű) csúcsához tartozó három szög mindegyike derékszög. Az ilyen tetraéder egy kocka része.)

Egy másik fogós lérdésnek az tűnt, hogy mire vonatkoztassuk a kereset eredményt. Az eredeti Pitagorasz tétel a háromszög oldalaira vonatkozik, amelyek egydimenziós alakzatok. És ha a témát a kétdimenziós térről felvittük a háromdimenziósba, jogosnak tűnk, hogy az eredmény elemeit vigyük fel, vagyis egydimenziósak (egyenes szakaszok) helyett kétdimenziósak legyenek (síkbeli háromszögük). Érdekes, hogy mindkettőre az oldal szót használjuk, csak éppen az utóbbi oldalak oldalai a tetraéder élei.

Egy másik fogós kérdés volt a négyzetre emelés értelmezése. A háromszög oldalainak négyzete egy egyszerű, „természetes” négyzet. De mi egy síkalakzat négyzete? És nem lenne indokol itt négyzetre emelés helyett köbemelést várni.

A konkrét vizsgálat gyorsan megadta a meglepően egyszerű és „ismerős” eredményt:

 

A derékszögű tetraéder tétele: A három derékszögű oldal területének négyzete összege egyenlő a negyedik oldal területének négyzetével.

 

A bizonyítás viszonylag egyszerű, de figyelmet és türelmet igénylő munkával elvégezhető. Magam inkább egy általános modell programozásával győződtem meg a tétel igaz voltáról (a szokás hatalma).

Mi tagadás, az eredmény megerősítése nagy öröm volt számomra. Két lehetőség van: vagy ez az eredmény már ismert, vagy még senki nem tette közé. Az örömöm nem függ ettől.

Kissé abszurd, de ma már így vagyunk tudományban, technikában, alkotásban: több idő, energia kell annak bizonyításához, hogy te vagy az első, mint magának az eredmény eléréséhez. Sajnos, az élet túl rövid ahhoz, hogy elsőségek bizonyítására pazaroljuk. Ebben inkább számítsunk azokra, akik abban lelik kétes örömüket, hogy megcáfolhatják mások elsőségét.

 

 

* * *

 

A 666 EDP-számhármas

 

Van-e megoldása az

a² + b² = c²

egyenletnek?

Nyilvánvalóan a válasz attól függ, hogy hol keressük a megoldást. Például a páratlan természetes számok körében nincs megoldás.

Más esetekben ismeretesek vagy találhatók megoldások, de akkor felmerülnek olyan kérdések: egy vagy sok megoldás létezik-e, illetve hogyan lehet ezeket megtalálni.

Igen, bizonyos esetekben igaz lehet, hogy csak egy megoldás létezik, például ha azt az egyszámjegyű természetes számok körében keressük.

Elég közismert a helyzet, ha megoldásokat a természetes számok körében. Ezzel az érdekes és szinte szórakoztató témával – távolról sem elsőként – a híres Püthagorasz is foglalkozott, ezért a hálás utókor pitagoraszi számhármasoknak nevezi a fenti egyenlet természetes számokból álló megoldásait

Itt meg kell egyezni azt, hogy megoldást keresve, nem feladatunk három számot találni. A megoldáshoz elegendő megtalálni a három keresett számból (a, b, c) bármely kettőt. A harmadik egyértelműen kiszámítható a kettőből. Ez ebben a témakörben különböző speciális feladattípusokat eredményez, mint például az, hogy egy adott „érdekes” számról megkérdezzük, hogy felírható-e két négyzet összegeként, esetleg azt, hogy hányféleképpen.

De lássuk végre, mi hozott össze minket ma!

A kérdés az, hogy létezik-e megoldása a fenti egyenletnek az egyiptomi törtek körében? (egyiptomi törtnek a természetes számok inverzeit, az 1/n típusú számok.) Vagyis a következő egyenlet megoldásai érdekelnek:

1/a² + 1/b² = 1/c²

Azonnal látjuk, hogy a „klasszikus” pitagoraszi hármas, a 3, 4, 5 itt semmilyen felállásban nem kínál megoldást, de még egyenként sem vezetnek eredményhez.

Egy fogós diofantoszi egyenletet kapunk. „Első ránézésre” sejthető, hogy akad megoldás, de néhány összefüggésen túl. amelyre visszatérek, megoldó képletet nem találtam, ezért türelmetlenségemben kiléptem a szent matematikából, és átmentem a nem kevésbé szent programozásba. Egy kis python-program percek alatt összegyűjtötte nekem azokat a megoldásokat, ahol a és b kisebb 10 000.

Éppen 666 lett. Érdekes. Remélem, senki nem babonás.

Itt a trónkövetelő, amely Püthagorasz „klasszikus” 3²+4²=5² helyére lép:

1/15² + 1/20² = 1/12²

Más érdekesség az, hogy a 666 megoldás között 42 megoldáspárban az „a” értékhez különböző „b” értékek akadnak. Például:

195, 260, 156

195, 468, 180

A „b” (vagyis a nagyobb) esetében érték megoldás között már 50 megoldáspár van azonos „b” értékkel, és egy olyan megoldáshármas, amikor ugyanaz a helyzet:

2275, 7800, 2184

3250, 7800, 3000

5850, 7800 , 680

A „c” érték esetében a helyzet már egészen „drámai”. 164 megoldáspár, 25 megoldáshármas, 15 megoldásnégyes, egy megoldásötös, két megoldáshatos és egy megoldáshetes is akad. Ezt úgy is lehet mondani, hogy egy bizonyos egyiptomi tört (2520) négyzete hét különböző módon állítható fel két egyiptomi tört négyzetének összegeként:

2625, 9000, 2520

2664, 7770, 2520

2730, 6552, 2520

2856, 5355, 2520

2968, 4770, 2520

3150, 4200, 2520

3480, 3654, 2520

(Csak csendben megjegyzem: 2520 = 7Í360. Foszlik Ozirisz titkait takaró lepel.)

Még egy érdekesség: éppen a kutatási terület határán a python két olyan megoldást talált, ahol két szomszédos szám szerepel:

2020, 9999, 1980

7500, 10000, 6000

A vizsgált megoldásokat nyilvánvalóan nem nevezhetjük pitagoraszi számhármasoknak, inkább az EDP-számhármas megnevezést javasolnám, ahol a betűk jelentése: egyiptomi, diofantoszi, pitagoraszi.

 

 

* * *

 

Szenzációs applikáció

 

A brit The Guordian kiszúrta ezt az új szenzációs appot a Google-store-ban.

Az AI technológiájú program kihasználja a híres Fermat tétel még híresebb bizonyításának egy váratlan következményét és a Poincaré-módszert, így 99%-os pontossággal megjósolja a heti lottó-számokat.

A forradalmi FIXFUX app egyelőre ingyenesen letölthető.

 

* * *

 

Tau komplex számokon

 

Amikor az osztók száma nagyobb magánál a számnál

 

A tény, hogy egy prím felírható két komplex egész nem triviális szorzataként bizonyára sokak számára igen meglepő, akár döbbenetes is lehet.

Meglepő vagy nem, a tény igaz, és helyes lenne körbe járni. Hátha nem minden prím „árulja el” ősi, építőkocka jellegét. Gyorsan be lehet látni. hogy minden prím „áruló”. Mi több. látjuk, hogy minden prímszám meglepően sokféleképpen írható fel nem triviális szorzatként. (Mellesleg teljesen igaza lenne, ha valaki unná a meglepetés emlegetését, hiszen ez valóban nem matematikai fogalom).

Lássunk egy példát! A népszerű 13 nem triviális osztóinak száma… 14!

 

-13+0i, -3-2i, -3+2i, -2-3i, -2+3i, -1+0i, 0-13i, 0-1i, 0+1i, 0+13i, 2-3i, 2+3i, 3-2i, 3+2i

 

De ha erre képes a 13, miért csodálkozzunk, hogy a 12-nek 38 nem triviális osztója akad a komplex egészek körében. Most mindenre felkészülve nézzük meg az összes természetes szám nem triviális osztóinak számát 1 és 100 között! Ezek:

 

3, 10, 6, 18, 14, 22, 6, 26, 10, 46, 6, 38, 14, 22, 30, 34, 14, 34, 6, 78, 14, 22, 6, 54, 34, 46, 14, 38, 14, 94, 6, 42, 14, 46, 30, 58, 14, 22, 30, 110, 14, 46, 6, 38, 46, 22, 6, 70, 10, 106, 30, 78, 14, 46, 30, 54, 14, 46, 6, 158, 14, 22, 22, 50, 62, 46, 6, 78, 14, 94, 6, 82, 14, 46, 70, 38, 14, 94, 6, 142, 18, 46, 6, 78, 62, 22, 30, 54, 14, 142, 30, 38, 14, 22, 30, 86, 14, 34, 22, 178

 

Határozottan az az érzésem, hogy itt még rengeteg érdekesség vár ránk.

 

* * *

 

Egy drámai találkozás

 

Minden prímszám felírható két egész szám nem triviális szorzataként, vagyis úgy hogy egyik tényező sem 1 – ezt kellett észrevennem.

Bevallom, különleges élmény volt. Első hallásra ez valóban apokalipszis a klasszikus számelméletben.

Feloldja a döbbenetet a helyzet apró részlete: a két egész szám, amelynek szorzata adja a prímet, komplex egész szám:

(4+5i)(4-5i) = 41

Hasonló, vagyis (k+5i)(k-5i) számok között sok prímet találtam, számuk bizonyos végtelen (de ez egyelőre maradjon hipotézis). Ezek:

 

29, 41, 61, 89, 281, 349, 509, 601, 701, 809, 1049, 1181, 1321, 1789, 2141, 2729, 3389, 4649, 5209, 5501, 5801, 8861, 9241, 9629, 10429, 11261, 11689, 12569, 15401, 15901, 17449, 17981, 18521, 19069, 21341, 21929, 23741, 24989, 26921, 27581, 33149, 39229, 40829, 41641, 42461, 45821, 46681, 52009, 53849, 55721, 59561, 68669, 71849, 79549, 80681, 86461, 87641, 91229, 94889, 97369, 98621, 99881, 101149, 107609, 111581, 112921, 114269, 116989, 118361, 126761, 128189, 133981, 135449, 139901, 145949, 147481, 149021, 153689, 156841, 158429, 169769, 173081, 174749, 179801, 181501, 186649, 190121, 195389, 197161, 198941, 204329, 209789, 226601, 228509, 234281, 252029, 254041, 264221, 266281…

 

Hasonló sorozatokat találunk, ha a fenti képlet az 5 helyébe bármilyen más számot írunk be. Ami érdekes, az első négy esetben mind olyan sorozatot kapunk, amely ismert az OEIS-ben – de nem az itt jelzett tulajdonság miatt, hanem a kapcsolódó képlet kibontott formájára hivatkozva:

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 - https://oeis.org/A002144

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257 - https://oeis.org/A002496

 5, 13, 29, 53, 173, 229 - https://oeis.org/A005473

13, 73, 109, 409, 1033 - https://oeis.org/A138353

17, 41, 97, 137, 241, 457 - https://oeis.org/A243451

 

A fenti megfigyelés után egy sor izgalmas kérdés merült fel bennem. Ezek többségére már meg is találtam a választ. Ezeket egy következő bejegyzésben osztom meg.

 

* * *

 

A prímszámok legendája

 

Volt egyszer egy legenda, mi szerint a 2, 3, 5, 7, 11 és még sok más szám prím, vagyis 1-en és saját magán kívül más egész számmal nem osztható.

A legenda ma is tartja magát, de van egy hírem: nem igaz.

Sajnos, most még nem tudom biztosan megmondani, hogy minden legendabeli prím összetett szám-e, illetve nincsenek-e ellenben újq eddig nem felfedezett igazi prímek.

Gondolkozom, és ha vannak híreim, jelentkezem.

De addig is, hamarosan megosztok részleteket a legenda leleplezéséről.

 

* * *