Egy érdekes számprezentáció

A számprezentáció egy külön témakör a számelméletben. Elsősorban olyan szabályszerűségeket keres, hogy milyen formában lehet felérni a természetes számokat.

Számos nevezetes példa létezik, és bizonyára vég nélkül lehet keresni újakat. Ezeket különböző szempontok szerint lehet csoportosítani. Egyrészt fontos kérdés, hogy a szabály az összes természetes számra vonatkozik-e vagy csak egy részükre (és ez a rész mennyire „természetes” – vagy legalább végtelen-e). Talán a leghíresebb példa a Goldbach-sejtés, amely szerint minden páros szám felírható két prím összegeként. Ez nyilvánvalóan nem terjeszthető az összes természetes számra, vagyis a páratlanokra is, mert azok egy kisebb része igem nagyobb része nem írható fel két prím összegeként. (Természetesen, matematikában óvatosan kell jasználni azokat a minősítéseket, hogy „több” vagy „kevés”, mert pl. az utolsó példánál is az „igazság” az, hogy ilyen meg olyan páratlanokból is végtelen sok van. De ez egy egészen más téma.)

Nem meglepő módon bőven találtak már az összes természeetes számra is vonatkozó szabályszerűségeket, de ezek többnyire egy másik sajátosságot mutatnak: nem egyértelműek, ami a prezentáció struktőráját illeti. Erre is van egy nevezetes- bár nem olyan régen bizonyított – példa az, hogy minden természetes szám felírható legfeljebb négy négyzetszám összegeként. Vagyis felírható akár egy, akár több négyzetszám összegeként, de mindig van olyan felírás, amikor az összeadandók száma nem több négynél.

A nem egyértelműségnek van egy másik „dimenziója”, amikor egy adott szám többféleképpen írható fel az adott szabály szerint. Ez könnyen látható a Goldbach-sejtésnél, hiszen általában egy nagyobb páros szám sokféleképen írható fel prímek összegeként.

Végül említsük meg, hogy érthető módon az efféle szabályok többnyire nem 1-től érvényesek, hanem van egy „tehnikai” küszöb. A Goldbach-sejtésnél ez értelemszerűen a 4, de például a négyzetszámos szabály már 1-től érvényes.

Most pedig nézzünk meg egy vélhetően új sejtést (hiszen magam még nem találkoztam vele). E szerint minden (!) 3-nál nagyobb természetes szám felírható mint egy prím szám és egy négyzetszámmal szorzott prím összege. Vagyis minden 3-nál nagyobb n természetes szám esetén létezik p1 és p2 prímszám, továbbá q természetes szám, amelyekre igaz:

a = p₁ + q²*p₂

Gyorsan észre fogjuk venni, hogy sokszor a „megoldáshoz” elég ha q = 1. De ez távolról sincs így mindig (máskülönben a Goldbach-sejtés a páratlan számokra is érvényes lenne).

Az első tehát, amit hangsúlyozni kell, hogy ez a prezentáció mindem (3-nál nagyobb) természetes szám érvényes.

A másik igen fontos megjegyzés: a fenti állítás vélhetően ugyanannyira lehetetlen bebizonyítani, mint a Goldbach-sejtést.

Lássunk két példát ilyen prezentációra!

52 = 7 + 3²*5

83 = 3 + 4²*5

Ezzel a prezentációval egy sor észrevételt tehetünk, különösen, ha külön megvizsgáljuk a páras és a páratlan számok prezentációját. Pl. ha a szám páras, az összeg mindkét tagjának egyszerre párosnak vagy páratlannak kell lennie, de az egyetlen páras prím a 2 stb.

Kérdések is felvethetők, és nyomban az első ilyen fölöttébb meglepő eredményhez, sőt egy nagy feladványhoz vezetett. A kérdés pedig a következő: adott n mellett, melyik a lekisebb q természetes szám, amellyel, mint a prezentációban szereplő négyzet alapja megadható n reprezentációja. Mivel feltesszük, hogy megoldás mindig van, így e számok legkisebbikje mindig egyértelműen adott. Nos, tekintettel, hogy a Goldbach-sejtés igen nagy távon empirikusan meg van erősítve, kijelenthetjük, hogy minden páros n mellett a(n) = 1. De világos, hogy igyanaz a helyzet, ha n páratlan és n-2 prim.

Nem nagyon meglepő, hogy ha a(n) nem 1, akkor 2 lehet (kezdetben). Az viszont mégis csak furcsa, hogy „csak a(17) = 2.

Innentől kezdve viszont már aránylag sűrán előfordul, a továbbra is gyakori 1-esek között. És igen sokáig.

Az ember egyre türelmetlenebbül várja, mikor fog megjelenni a 3?

Kell is némi türelem, de siker jutalmazza: a(77) = 3!

Utána újra 1-esek és 2-esek, sokáig, sokáig, meglehetősen kiegyenlített erővel.

És itt a nagy bökkenő: hiába minden türelem, de nem hogy 4 és 5 stb. nem jön, de a 3 sem ismétlődik – legalább is addig, amíg a számítógépen eddig ellenőrizte. Ez ma 20 000 000…

Bevallom, számomra ez döbbenetes eredmény. A nagy kérdés: lehetséges-e, hogy a 77 „tévedés”, az egyes egyedül természetes szám, amelyre a(n) = 3? Lehetséges-e továbbá, hogy a(n) soha nem lehet nagyobb 3-nál.

Hajlok arra gondolni, hogy a fenti két kérdésre tagadó a válasz. De erre példák kellene.

Érdekes kérdés: ha az embernek ilyen monstre-feladványa van, hol kereshet segítséget? Nem biztos, hogy ehhez a feladathoz kvantum-számítógép kell, de vélhetően egy PC kevés.

 

* * *

Arisztark-sorozatok

Mialatt írtam A számok című könyvemet, többé vagy kevésbé érdekes sorozatok tucatjait találtam ki. Egyeseket felírtam magamnak, másokat nem, de minden esetben megvolt a szándék, hogy „majd egyszer” visszatérek ezekre.

Így a napokban elővettem az egyiket, és roppant érdekes tulajdonságokat fedeztem nála, és – örömömre – annál több rejtélyt.

Mivel egész sorozatcsaládról van szó, úgy éreztem, jó lenne nevet adni nekik. Így magamnak Arisztark-sorozatnak kezdtem hívni. Aki elfogadja ezt az elnevezést, elfogadja, aki nem, nem. Mindenesetre Arisztark megérdemli tiszteletünket.

De haladjunk sorjában!

Az alapsorozat a következő szabály szerint alakul:

a(1) = 1

ha n > 1, a(n) = a(n-1)/gcd(a(n-1), n) ha gcd(a(n-1), n) > 1, más esetben, vagyis ha gcd(a(n-1), n) = 1, akkor a(n) = a(n-1)+n.

Szavakkal elmondva, ha az előző tag és n legnagyobb közös osztója nagyobb 1-nél )tehát valós osztó), akkor azzal elosztjuk az előző tagot, és ez lesz az új tag, de ha az előző tag és n relatív prím, az őj tag az előző tag és n összege.

Magában a szabályban semmilyen különösebb „csavar” nincs, érdeklődéssel várhatjuk az eredményt.

Nos, ez akár csalódásnak is tűnhet, ugyanis ez a sorozat így néz ki:

1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, ….

Vagyis eléggé egyhangú és kiszámítható.

Ha ez lenne minden, akár el is felejthetjük a sorozatot.

De azért nézzük meg, mi történik, ha az első tag nem 1, hanem – a rend kedvéért – 2!

Apró meglepetés. A sorozat most így néz ki:

2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, 1, …

Példaértékű rend és fegyelem, szinte szép! Bár minden sorozat ilyen lenne, semmi gondunk nem lenne velük.

De a matematikus kíváncsi ember, megnézi, hogyan fest más kezdő tagok esetén ez a sorozat, ha már ennyit beszélünk róla!

Nézzük meg, milyen a sorozat, ha az első tag 3!

Hát most kellene megkapaszkodni! A sorozat így néz ki:

3, 5, 8, 2, 7, 13, 20, 5, 14, 7, 18, 3, 16, 8, 23, 39, 56, 28, 47, 67, 88, 4, 27, 9, 34, 17, 44, 11, 40, 4, 35, 67, 100, 50, 10, 5, 42, 21, 7, 47, 88, 44, 87, 131, 176, 88, 135, 45, 94, 47, 98, 49, 102, 17, 72, 9, 3, 61, 120, 2, 63, 125, 188, 47, 112, 56, 123, 191, 260, 26, 97, 169, 242, 121, 196, 49, 7, 85, 164, 41, 122, 61, 144, 12, 97, 183, 61, 149, 238, 119, 17, 109, 202, 101, 196, 49, 146, 73, 172, 43, 144, 24, 127, 231, 11, 117, 224, 56, 165, 3, …

Kétségtelenül, ez az első két eset után döbbenetesen néz ki. Mondhatni igazi random sorozat. Valóban, miféle összefüggéseket lehet itt felfedezni? (Figyelem: ez csak egy provokatív kérdés.)

És most jöhet az igazi meglepetés! Éppen itt, ahol abbahagytam, ez a bizarr rakoncátlan sorozat visszatér a jól ismert cizellált mederbe, és így folytatódik:

1, 113, 1, 115, 1, 117, 1, 119, 1, …

Az eset enyhén szólva érdekes, és felfedezése után egy becsületes számász nem hagyja ennyiben, hanem megvizsgálja az összes természetes számmal. (Nem nagy úgy, ez a legkisebb végtelen halmaz.)

Mi tagadás, ez is egy érdekes sorozat, mikor tér vissza a sorozat a rendes kerékvágásba.

Íme szerény első eredményei (itt most csak azokat az eredményeket adom meg, amelyek egy folyamatos sort képeznek):

1, 2, 111, 7, 5, 3, 25, 22, 25, 111, 111, 4, 7, 5, 5, 6, 22, …

Miért ilyen sokszor fordul elő a 111, miért fordul elő kétszer is egymás után (ha a sorozat 10-zel vagy 11-gyel kezdődik)?

Tucatnyi kérdés, tucatnyi rejtély. Azok egy részére bizonyára soha nem kapunk választ, másokra igen. És én kíváncsian várom azokat.

Végül még egy fontos adalék, hogy felpezsdítsük az Arisztark-sorozatok világában az életet. Nos, az alapképletben egy apró módosítás drámai módon változtatja meg annak jellegét, nyoma nem marad e régi egyhangú medernek. Ez a módosítás pedig az, hogy ha a gcd 1, akkor az új tag az előző és n összege, mínusz 1. Ekkor a sorozat így fest:

1, 2, 4, 1, 5, 10, 16, 2, 10, 1, 11, 22, 34, 17, 31, 46, 62, 31, 49, 68, 88, 4, 26, 13, 37, 62, 88, 22, 50, 5, 35, 66, 2, 1, 35, 70, 106, 53, 91, 130, 170, 85, 127, 170, 34, 17, 63, 21, 3, 52, 102, 51, 103, 156, 210, 15, 5, 62, 120, 2, 62, 1, 63, 126, 190, 95, 161, 228, 76, 38, 108, 3, 75, 148, 222, 111, 187, 264, 342, 171, 19, …

Látjuk, itt az 1 felbukkanása nem tereli a sorozatot sehova, az unalom kizárva.

Ennyi most az első híradás az Arisztark-sorozatokról.

 

* * *

Milyen függvény adja az elforgatott parabolát?

Tudjuk, hogy minden függvény meghatároz egy vonalat, és fordítva, minden vonal meghatároz egy függvényt.

Most mellőzzük a pedáns részletezést, milyen függvények és milyen vonalak esetében kifogástalan a fenti állítás, hiszen abban az esetben, amelyről szó lesz, az valóban igaz.

Nos, másodfokú egyenletekről van szó, amelyeknek grafikonja minden esetben egy szép, egyenesen álló parabola, vagyis olyan parabola, amelynek szimmetriatengelye függőleges.

De ez az: és mi van, ha ez a tengely nem lenne annyira függőleges?

Legyen adva egy ilyen parabola, a hozzátartozó másodfokú egyenlettel, mi meg ezt a parabolát forgassuk el balra egy fokkal, úgy hogy az elforgatás középpontja a parabola csúcsa (a másodfokú egyenlet extrém – legkisebb vagy legnagyobb – pontja).

A kérdés: milyen függvény írja le az így elforgatott parabolát?

Természetesen vizsgálhatjuk a helyzetet más középpont esetén.

Külön – igen érdekesnek látszó – témakör annak tanulmányozása, hogy egy adott egyértékű függvény grafikonja elforgatás esetén milyen szögtartományokban őrzi meg az egyértékűség igen értékes tulajdonságát.A kérdés: milyen függvény írja le az így elforgatott parabolát?

 

Kérdés, amelynek jelenleg nem ismerjük a megoldását.

 

* * *

Mennyire lóg ki a csúcs?

Közös középponttal adva egy r sugarú kör, és egy a oldalhosszúságú négyzet, ezekre  a < 2r < a*2^0,5 teljesül, vagyis a négyzet nagyobb a körbe írt négyzetnél, de kisebb a kör köré írt. Számítsuk ki a négyzet A csúcspontjának távolságát a négyzet és a kör legközelebbi metszéspontjától!

* * *