Arisztark-sorozatok

Mialatt írtam A számok című könyvemet, többé vagy kevésbé érdekes sorozatok tucatjait találtam ki. Egyeseket felírtam magamnak, másokat nem, de minden esetben megvolt a szándék, hogy „majd egyszer” visszatérek ezekre.

Így a napokban elővettem az egyiket, és roppant érdekes tulajdonságokat fedeztem nála, és – örömömre – annál több rejtélyt.

Mivel egész sorozatcsaládról van szó, úgy éreztem, jó lenne nevet adni nekik. Így magamnak Arisztark-sorozatnak kezdtem hívni. Aki elfogadja ezt az elnevezést, elfogadja, aki nem, nem. Mindenesetre Arisztark megérdemli tiszteletünket.

De haladjunk sorjában!

Az alapsorozat a következő szabály szerint alakul:

a(1) = 1

ha n > 1, a(n) = a(n-1)/gcd(a(n-1), n) ha gcd(a(n-1), n) > 1, más esetben, vagyis ha gcd(a(n-1), n) = 1, akkor a(n) = a(n-1)+n.

Szavakkal elmondva, ha az előző tag és n legnagyobb közös osztója nagyobb 1-nél )tehát valós osztó), akkor azzal elosztjuk az előző tagot, és ez lesz az új tag, de ha az előző tag és n relatív prím, az őj tag az előző tag és n összege.

Magában a szabályban semmilyen különösebb „csavar” nincs, érdeklődéssel várhatjuk az eredményt.

Nos, ez akár csalódásnak is tűnhet, ugyanis ez a sorozat így néz ki:

1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, ….

Vagyis eléggé egyhangú és kiszámítható.

Ha ez lenne minden, akár el is felejthetjük a sorozatot.

De azért nézzük meg, mi történik, ha az első tag nem 1, hanem – a rend kedvéért – 2!

Apró meglepetés. A sorozat most így néz ki:

2, 1, 4, 1, 6, 1, 8, 1, …

Példaértékű rend és fegyelem, szinte szép! Bár minden sorozat ilyen lenne, semmi gondunk nem lenne velük.

De a matematikus kíváncsi ember, megnézi, hogyan fest más kezdő tagok esetén ez a sorozat, ha már ennyit beszélünk róla!

Nézzük meg, milyen a sorozat, ha az első tag 3!

Hát most kellene megkapaszkodni! A sorozat így néz ki:

3, 5, 8, 2, 7, 13, 20, 5, 14, 7, 18, 3, 16, 8, 23, 39, 56, 28, 47, 67, 88, 4, 27, 9, 34, 17, 44, 11, 40, 4, 35, 67, 100, 50, 10, 5, 42, 21, 7, 47, 88, 44, 87, 131, 176, 88, 135, 45, 94, 47, 98, 49, 102, 17, 72, 9, 3, 61, 120, 2, 63, 125, 188, 47, 112, 56, 123, 191, 260, 26, 97, 169, 242, 121, 196, 49, 7, 85, 164, 41, 122, 61, 144, 12, 97, 183, 61, 149, 238, 119, 17, 109, 202, 101, 196, 49, 146, 73, 172, 43, 144, 24, 127, 231, 11, 117, 224, 56, 165, 3, …

Kétségtelenül, ez az első két eset után döbbenetesen néz ki. Mondhatni igazi random sorozat. Valóban, miféle összefüggéseket lehet itt felfedezni? (Figyelem: ez csak egy provokatív kérdés.)

És most jöhet az igazi meglepetés! Éppen itt, ahol abbahagytam, ez a bizarr rakoncátlan sorozat visszatér a jól ismert cizellált mederbe, és így folytatódik:

1, 113, 1, 115, 1, 117, 1, 119, 1, …

Az eset enyhén szólva érdekes, és felfedezése után egy becsületes számász nem hagyja ennyiben, hanem megvizsgálja az összes természetes számmal. (Nem nagy úgy, ez a legkisebb végtelen halmaz.)

Mi tagadás, ez is egy érdekes sorozat, mikor tér vissza a sorozat a rendes kerékvágásba.

Íme szerény első eredményei (itt most csak azokat az eredményeket adom meg, amelyek egy folyamatos sort képeznek):

1, 2, 111, 7, 5, 3, 25, 22, 25, 111, 111, 4, 7, 5, 5, 6, 22, …

Miért ilyen sokszor fordul elő a 111, miért fordul elő kétszer is egymás után (ha a sorozat 10-zel vagy 11-gyel kezdődik)?

Tucatnyi kérdés, tucatnyi rejtély. Azok egy részére bizonyára soha nem kapunk választ, másokra igen. És én kíváncsian várom azokat.

Végül még egy fontos adalék, hogy felpezsdítsük az Arisztark-sorozatok világában az életet. Nos, az alapképletben egy apró módosítás drámai módon változtatja meg annak jellegét, nyoma nem marad e régi egyhangú medernek. Ez a módosítás pedig az, hogy ha a gcd 1, akkor az új tag az előző és n összege, mínusz 1. Ekkor a sorozat így fest:

1, 2, 4, 1, 5, 10, 16, 2, 10, 1, 11, 22, 34, 17, 31, 46, 62, 31, 49, 68, 88, 4, 26, 13, 37, 62, 88, 22, 50, 5, 35, 66, 2, 1, 35, 70, 106, 53, 91, 130, 170, 85, 127, 170, 34, 17, 63, 21, 3, 52, 102, 51, 103, 156, 210, 15, 5, 62, 120, 2, 62, 1, 63, 126, 190, 95, 161, 228, 76, 38, 108, 3, 75, 148, 222, 111, 187, 264, 342, 171, 19, …

Látjuk, itt az 1 felbukkanása nem tereli a sorozatot sehova, az unalom kizárva.

Ennyi most az első híradás az Arisztark-sorozatokról.

 

* * *