A csempe-geometria

 

Diákkorom óta fenntartásaim voltak a pont fogalmával a geometriában. Végül is akkor kezdték egymás után felfedezni a „bonthatatlan” atom alkotó részeit, és a jelek arra mutattak, hogy itt nem várható megállás.

De ekkor hogyan lehet fenntartani a pont elvét, vagyis azt, hogy az nem bontható, elemezhető, modellezhető stb. Semmi. Egy tűszúrás. Lehetne mondani: átjáró a túlvilághoz, csak éppen annyi kicsiny, hogy semmit nem látunk rajta keresztül.

Így idővel egyre élénkebben foglalkoztatott a gondolat, hogy lehetséges-e egy alternatív – „nem-euklideszi” – euklideszi geometria, amely minden másban euklideszi, de éppenséggel nem posztulálja, pontosabban kizárja a pontok létezését?

Rá kellett jönnöm, hogy aki Á-t mond…, annak az egyenes és a sík létezését kell megtagadnia, általában mindent, amelynek valamelyik mérete 0. A lemondás nem tűnt fájdalmasnak. Annál inkább, hogy azonnal kínálta magát egy remek modell: az euklideszi tér a maga nyílt formáival (részhalmazaival).

Tehát a koncepció adva volt, és izgalmas munka kínálkozott.

Ekkor viszont történt egy szerencsétlen fordulat. Kutatva a témát, találkoztam olyan információkkal, miszerint „nem régen” más matematikusok is vizsgáltak hasonló problémákat és egy sor eredmény született egy új matematikai ágban, amelyet, hogy, hogy nem, non-kommutatív geometriának lett elnevezve. Az ide vágó munkák az absztrakt algebra olyan  magaslatai körül keringtek, hogy sok évet igénylő felkészülés nélkül nehezen követhetők. De a lényeg mégis az volt számomra, hogy ezek a kutatások nem a „pontnélküliségre” fókuszáltak, hanem éppen ellenkezőleg, ez az alapkoncepció teljesen eltűnt.

Így az egész érdeklődésem a téma iránt is hibernálódott, pedig továbbra is azt vallom, hogy ennek a koncepciónak még fontos szerepe lehet a világ szövetének megértésében.

És lám, ma, már nem is tudom, miből merítve impulzust, elképzeltem egy egészen más, első látásra hihetetlenül izgalmas modellt.

Ez pontosan az ellentéte az előbb említett nyilt térbeli formáknak. Úgy is mondhatjuk, hogy ez egy diszkrét modell (ez nem társasági fogalom, a matematikusok használják bizonyos esetekben).

Nos, ezt a modellt csempe-geometriának is nevezhetjük, mert benne nincsenek pontok, hanem csempék.

És itt mindjárt háromfelé mehetünk, hiszen a szabályos háromszög, négyszög és hatszög kínálja magát. Ez lehetne a három fő felekezet, amelyek között lehet választani kedvencet, tudva, hogy a három geometria különböző tulajdonságokkal rendelkezik.

Azt is érdemes megegyezni, hogy ez a három alapmodell intuitíve azt valósítja meg, hogy „nem hagyunk vákuumot”. Ha viszont mi nem a „szokásos” geometriai vizualitást keressük, hanem jó az emberi agy víziója, akkor akár végtelen sok alternatív modellt is megalkothatunk (bár ekkor nem csempe-, hanem sajtgeometriáról lenne helyes beszélni.

Én a mai nap egy részét arra szántam, hogy elemezzem a négyzetes csempegeometriát, és be kell vallanom, remek játék, sok-sok meglepetés. Definiáltam az egyenest, az átlós egyenest, a két csempe (volt pont) közötti utat, távolságot. Igen izgalmasnak tűnik a hagyományos geometria nem igen ismert hálózat fogalmát.

Mindenki őrizze meg a nyugalmát: a csempe-geometriában is igaz, hogy egy egyenesen kívüli csempén egy és csak egy párhuzamos egyenes létezik.

Azért döbbenetes meglepetések is vannak (Püthagorasz most ne figyeljen ide): ha a, b és c egy egyenlőszárú derékszögű háromszög oldala a+b=2c, hiszen a=b=c

Hogy mit adhat nekünk a csempe-geometria néhány szórakoztató példán kívül.

A jövő tudja a választ.

 

* * *

 

A bolsevik számok

 

Ebben a történetben végig egy 3x3-as mátrix lesz a szereplő, amelyben az értékek 0 és 1 lehetnek.

Az elmés olvasó nyomban észreveszi, hogy ez így nem más, mint a legfeljebb 9 – bináris – számjegyből álló számok halmaza. A legfeljebb 9 számjegyű bináris számok száma egyáltalán nem olyan nagy (ahogy a 9 meg a hatványozás hallatára gondolhatnánk): 512.

Semmi gond, így vélhetően a következő kérdések sem lesznek annyira gyötrőek.

Először adjunk nevet fenti számaink egy csoportjának. Elnevezhetjük azokat lilának vagy szépnek, de ezek már gyakran használt, nem túl ötletes jelzők. Legyenek inkább: bolsevik számok. A pontos definíció pedig a következő: egy legfeljebb 9 számjegyű bináris szám bolsevik akkor és csak akkor, ha öt egyest tartalmaz.

Látható, hogy az elnevezésnek nincs a matematikától oly idegen politikai felhangja, csupán azt fejezi ki, hogy benne az egyesek eggyel többen vannak a kisebbségben lévő nulláknál. Merő véletlen (történelmi kuriózum), hogy a bolsevikok is éppen eggyel többen voltak a mensevikeknél.

Nos, az első kérdés: hány bolsevik szám van?

Annak, akinek a válasz nem egyből tudható, érdekes lehetne először tippelni.

A második kérdés viszont némi előkészítést igényel, ezért erre egy következő posztba térek vissza, de egyébként is illik egy kis szünetet tartani azok számára, akik szeretnének gondolzni a válaszon..

  

* * *

 

Apeva aritmetika 1.

 

Parnasszus újdonságait kevésbé ismerők kedvéért: az apeva egy ötsoros vers, amelynek sorai rendre 1, 2, 3, 4 és 5 szótagot tartalmaznak.

Felmerül a következő kérdés: adva van a ls b, két természetes szám. Az a, ab, ab², ab³, ab⁴ számok (ezt nevezzük a Pegazus-számpár Pegazus-számötösének) számjegyeinek száma megfelel-e az apeva-szabálynak. Ebben az esetben a számpárt Pegazus-számpárnak hívhatjuk, egyébként – a rend kedvéért – nem-Pegazus számpárnak.

Világos, hogy minden természetes számpárról könnyen és egyértelműen megállapítható Pegazus-e vagy sem, aza minden számpár vagy Pegazus vagy nem-Pegazus.

Az is világos, hogy ha a,b Pegazus szám, a 10-nél kisebb természetes szám.

Ami esetleg nem egyből annyira világos mindenki számára, de amire gyorsan találunk választ: egyáltalán létezik-e Pegazus-számpár?

Nos, az 1,10 számpár az, tehát megnyugodhatunk, Pegazus-számpár létezik.

Kis vizsgálódás, és a felől is megnyugodhatunk, hogy nem kevés ilyen létezik, bár biztosan nem végtelen sok (ami a számtanban egy nem túl nagy elvárás). Először is, mivel a csak kilenc szám lehet (1-től 9-ig), és minden a esetén a b számára adva van egy felső határa (99/d egész része), sejthető, hogy a Pegazus-számpárok nincsenek „túl sokan”.

És innentől kezdve ezek megismerése nem túl bonyolult (és nem túl izgalmas) számolás.

Érdekes kérdések viszont adódhatnak, éspedig egy meglehetősen unikális módon, amikor apevákat veszünk matematikai objektumoknak.

De egyelőre megmaradva a matematikán belül: egy Pegazus-számpárt teljesnek nevezünk, ha Pegazus-számötösében előfordul az összes számjegy 1-től 9-ig, és tökéletesnek, ha mind a 10 számjegy előfordul benne. A fogalom úgy általánosítható, hogy a Pegazus-számötös található számjegyek számát a számötöst generáló Pegázus-számpár rangjának nevezzük. De figyelem: egy 9-es rangú Pegazus-számpár nem feltétlenül teljes (egy 10-es rangú viszont biztosan tökéletes).

Például 9,7 9-es rangú, mert a Pegazus-számötöse 9,63,441,3087,21609. Ugyanakkor nem teljes, mert nem szerepel benne 5.

Léteznek-e teljes, illetve tökéletes Pegazus-számpár?

Teljesre már akadtam: 2,13. Az ebből adódó Pegazus-számötös 2,26,338,4394,57122. Gyönyörűséges, nemde?

Mi marad hátra? Megalkotni egy olyan apevát, amely kilenc szótagot használ, és azokat megfelelően megsorszámozva, ezt a mintát kapjuk. A feladat vélhetően egy hatalmas élmény lesz a nyelvzsenik számára.

És itt beléphet az apeva a matematika birodalma. Ahogy említettük, minden apeva 15 szótagot tartalmaz. Könnyedén definiálhatjuk rá az imént bevezetett rang-fogalmat: ahány különböző szótagot használ egy apeva, annyi a rangja. Mi sem természetesebb, hogy egyes szótagok ismétlődnek (ezek jogosan azonosíthatók akkor is, ha eredetük merőben eltérő, például egy „a” lehet egyszer egy névelő, máskor az ara első szótagja). Bizonyára rendkívül ritka kuriózus a 15-ös rangú apeva, de hasonlóképpen a 6-7-nél kisebb rangú. Most annyit mondhatunk, hogy a 10-es és annál kisebb rangú apevák „reprezentálhatók” „apevás” számötösökkel.

Hogy ez az egész mire jó? Hát arra, hogy a művészet vilából átranduljunk a matematika játékos világába, aztán mehetünk is vissza felugrani a szertelen pegazusra

 

* * *

 

Pitagorasz tétele, 3 dimenzióban

 

Felmerült bennem: érvényes-e Pitagorasz tétele, illetve egy hasonló állítás a térben (azért első lépésben szerényen megmaradva a 3 dimenziós térben)?

Természetesen sík akárhány dimenziós térben is létezik, és abban a síkban értelmezhető és érvényes a Pitagorasz tétel. De ha már térben vagyunk, szakadjunk el a síkbeli háromszög. Ami nem is olyan nehéz. Mi más lenne a térbeli „háromszög”, ha nem a tetraéder? És mi más lenne a térbeli „derékszögű háromszög”. Azt viszont pontosítani kell, hogy mit tekintünk derékszögű tetraédernek, hisz több értelmezés is lehet. Mi azt a meghatározást fogadjuk el, hogy derékszögű tetraéder az a tetraéder, amelynek egyuk (derékszögű) csúcsához tartozó három szög mindegyike derékszög. Az ilyen tetraéder egy kocka része.)

Egy másik fogós lérdésnek az tűnt, hogy mire vonatkoztassuk a kereset eredményt. Az eredeti Pitagorasz tétel a háromszög oldalaira vonatkozik, amelyek egydimenziós alakzatok. És ha a témát a kétdimenziós térről felvittük a háromdimenziósba, jogosnak tűnk, hogy az eredmény elemeit vigyük fel, vagyis egydimenziósak (egyenes szakaszok) helyett kétdimenziósak legyenek (síkbeli háromszögük). Érdekes, hogy mindkettőre az oldal szót használjuk, csak éppen az utóbbi oldalak oldalai a tetraéder élei.

Egy másik fogós kérdés volt a négyzetre emelés értelmezése. A háromszög oldalainak négyzete egy egyszerű, „természetes” négyzet. De mi egy síkalakzat négyzete? És nem lenne indokol itt négyzetre emelés helyett köbemelést várni.

A konkrét vizsgálat gyorsan megadta a meglepően egyszerű és „ismerős” eredményt:

 

A derékszögű tetraéder tétele: A három derékszögű oldal területének négyzete összege egyenlő a negyedik oldal területének négyzetével.

 

A bizonyítás viszonylag egyszerű, de figyelmet és türelmet igénylő munkával elvégezhető. Magam inkább egy általános modell programozásával győződtem meg a tétel igaz voltáról (a szokás hatalma).

Mi tagadás, az eredmény megerősítése nagy öröm volt számomra. Két lehetőség van: vagy ez az eredmény már ismert, vagy még senki nem tette közé. Az örömöm nem függ ettől.

Kissé abszurd, de ma már így vagyunk tudományban, technikában, alkotásban: több idő, energia kell annak bizonyításához, hogy te vagy az első, mint magának az eredmény eléréséhez. Sajnos, az élet túl rövid ahhoz, hogy elsőségek bizonyítására pazaroljuk. Ebben inkább számítsunk azokra, akik abban lelik kétes örömüket, hogy megcáfolhatják mások elsőségét.

 

 

* * *