A bolsevik számok

 

Ebben a történetben végig egy 3x3-as mátrix lesz a szereplő, amelyben az értékek 0 és 1 lehetnek.

Az elmés olvasó nyomban észreveszi, hogy ez így nem más, mint a legfeljebb 9 – bináris – számjegyből álló számok halmaza. A legfeljebb 9 számjegyű bináris számok száma egyáltalán nem olyan nagy (ahogy a 9 meg a hatványozás hallatára gondolhatnánk): 512.

Semmi gond, így vélhetően a következő kérdések sem lesznek annyira gyötrőek.

Először adjunk nevet fenti számaink egy csoportjának. Elnevezhetjük azokat lilának vagy szépnek, de ezek már gyakran használt, nem túl ötletes jelzők. Legyenek inkább: bolsevik számok. A pontos definíció pedig a következő: egy legfeljebb 9 számjegyű bináris szám bolsevik akkor és csak akkor, ha öt egyest tartalmaz.

Látható, hogy az elnevezésnek nincs a matematikától oly idegen politikai felhangja, csupán azt fejezi ki, hogy benne az egyesek eggyel többen vannak a kisebbségben lévő nulláknál. Merő véletlen (történelmi kuriózum), hogy a bolsevikok is éppen eggyel többen voltak a mensevikeknél.

Nos, az első kérdés: hány bolsevik szám van?

Annak, akinek a válasz nem egyből tudható, érdekes lehetne először tippelni.

A második kérdés viszont némi előkészítést igényel, ezért erre egy következő posztba térek vissza, de egyébként is illik egy kis szünetet tartani azok számára, akik szeretnének gondolzni a válaszon..

  

* * *

 

Apeva aritmetika 1.

 

Parnasszus újdonságait kevésbé ismerők kedvéért: az apeva egy ötsoros vers, amelynek sorai rendre 1, 2, 3, 4 és 5 szótagot tartalmaznak.

Felmerül a következő kérdés: adva van a ls b, két természetes szám. Az a, ab, ab², ab³, ab⁴ számok (ezt nevezzük a Pegazus-számpár Pegazus-számötösének) számjegyeinek száma megfelel-e az apeva-szabálynak. Ebben az esetben a számpárt Pegazus-számpárnak hívhatjuk, egyébként – a rend kedvéért – nem-Pegazus számpárnak.

Világos, hogy minden természetes számpárról könnyen és egyértelműen megállapítható Pegazus-e vagy sem, aza minden számpár vagy Pegazus vagy nem-Pegazus.

Az is világos, hogy ha a,b Pegazus szám, a 10-nél kisebb természetes szám.

Ami esetleg nem egyből annyira világos mindenki számára, de amire gyorsan találunk választ: egyáltalán létezik-e Pegazus-számpár?

Nos, az 1,10 számpár az, tehát megnyugodhatunk, Pegazus-számpár létezik.

Kis vizsgálódás, és a felől is megnyugodhatunk, hogy nem kevés ilyen létezik, bár biztosan nem végtelen sok (ami a számtanban egy nem túl nagy elvárás). Először is, mivel a csak kilenc szám lehet (1-től 9-ig), és minden a esetén a b számára adva van egy felső határa (99/d egész része), sejthető, hogy a Pegazus-számpárok nincsenek „túl sokan”.

És innentől kezdve ezek megismerése nem túl bonyolult (és nem túl izgalmas) számolás.

Érdekes kérdések viszont adódhatnak, éspedig egy meglehetősen unikális módon, amikor apevákat veszünk matematikai objektumoknak.

De egyelőre megmaradva a matematikán belül: egy Pegazus-számpárt teljesnek nevezünk, ha Pegazus-számötösében előfordul az összes számjegy 1-től 9-ig, és tökéletesnek, ha mind a 10 számjegy előfordul benne. A fogalom úgy általánosítható, hogy a Pegazus-számötös található számjegyek számát a számötöst generáló Pegázus-számpár rangjának nevezzük. De figyelem: egy 9-es rangú Pegazus-számpár nem feltétlenül teljes (egy 10-es rangú viszont biztosan tökéletes).

Például 9,7 9-es rangú, mert a Pegazus-számötöse 9,63,441,3087,21609. Ugyanakkor nem teljes, mert nem szerepel benne 5.

Léteznek-e teljes, illetve tökéletes Pegazus-számpár?

Teljesre már akadtam: 2,13. Az ebből adódó Pegazus-számötös 2,26,338,4394,57122. Gyönyörűséges, nemde?

Mi marad hátra? Megalkotni egy olyan apevát, amely kilenc szótagot használ, és azokat megfelelően megsorszámozva, ezt a mintát kapjuk. A feladat vélhetően egy hatalmas élmény lesz a nyelvzsenik számára.

És itt beléphet az apeva a matematika birodalma. Ahogy említettük, minden apeva 15 szótagot tartalmaz. Könnyedén definiálhatjuk rá az imént bevezetett rang-fogalmat: ahány különböző szótagot használ egy apeva, annyi a rangja. Mi sem természetesebb, hogy egyes szótagok ismétlődnek (ezek jogosan azonosíthatók akkor is, ha eredetük merőben eltérő, például egy „a” lehet egyszer egy névelő, máskor az ara első szótagja). Bizonyára rendkívül ritka kuriózus a 15-ös rangú apeva, de hasonlóképpen a 6-7-nél kisebb rangú. Most annyit mondhatunk, hogy a 10-es és annál kisebb rangú apevák „reprezentálhatók” „apevás” számötösökkel.

Hogy ez az egész mire jó? Hát arra, hogy a művészet vilából átranduljunk a matematika játékos világába, aztán mehetünk is vissza felugrani a szertelen pegazusra

 

* * *

 

Pitagorasz tétele, 3 dimenzióban

 

Felmerült bennem: érvényes-e Pitagorasz tétele, illetve egy hasonló állítás a térben (azért első lépésben szerényen megmaradva a 3 dimenziós térben)?

Természetesen sík akárhány dimenziós térben is létezik, és abban a síkban értelmezhető és érvényes a Pitagorasz tétel. De ha már térben vagyunk, szakadjunk el a síkbeli háromszög. Ami nem is olyan nehéz. Mi más lenne a térbeli „háromszög”, ha nem a tetraéder? És mi más lenne a térbeli „derékszögű háromszög”. Azt viszont pontosítani kell, hogy mit tekintünk derékszögű tetraédernek, hisz több értelmezés is lehet. Mi azt a meghatározást fogadjuk el, hogy derékszögű tetraéder az a tetraéder, amelynek egyuk (derékszögű) csúcsához tartozó három szög mindegyike derékszög. Az ilyen tetraéder egy kocka része.)

Egy másik fogós lérdésnek az tűnt, hogy mire vonatkoztassuk a kereset eredményt. Az eredeti Pitagorasz tétel a háromszög oldalaira vonatkozik, amelyek egydimenziós alakzatok. És ha a témát a kétdimenziós térről felvittük a háromdimenziósba, jogosnak tűnk, hogy az eredmény elemeit vigyük fel, vagyis egydimenziósak (egyenes szakaszok) helyett kétdimenziósak legyenek (síkbeli háromszögük). Érdekes, hogy mindkettőre az oldal szót használjuk, csak éppen az utóbbi oldalak oldalai a tetraéder élei.

Egy másik fogós kérdés volt a négyzetre emelés értelmezése. A háromszög oldalainak négyzete egy egyszerű, „természetes” négyzet. De mi egy síkalakzat négyzete? És nem lenne indokol itt négyzetre emelés helyett köbemelést várni.

A konkrét vizsgálat gyorsan megadta a meglepően egyszerű és „ismerős” eredményt:

 

A derékszögű tetraéder tétele: A három derékszögű oldal területének négyzete összege egyenlő a negyedik oldal területének négyzetével.

 

A bizonyítás viszonylag egyszerű, de figyelmet és türelmet igénylő munkával elvégezhető. Magam inkább egy általános modell programozásával győződtem meg a tétel igaz voltáról (a szokás hatalma).

Mi tagadás, az eredmény megerősítése nagy öröm volt számomra. Két lehetőség van: vagy ez az eredmény már ismert, vagy még senki nem tette közé. Az örömöm nem függ ettől.

Kissé abszurd, de ma már így vagyunk tudományban, technikában, alkotásban: több idő, energia kell annak bizonyításához, hogy te vagy az első, mint magának az eredmény eléréséhez. Sajnos, az élet túl rövid ahhoz, hogy elsőségek bizonyítására pazaroljuk. Ebben inkább számítsunk azokra, akik abban lelik kétes örömüket, hogy megcáfolhatják mások elsőségét.

 

 

* * *

 

A 666 EDP-számhármas

 

Van-e megoldása az

a² + b² = c²

egyenletnek?

Nyilvánvalóan a válasz attól függ, hogy hol keressük a megoldást. Például a páratlan természetes számok körében nincs megoldás.

Más esetekben ismeretesek vagy találhatók megoldások, de akkor felmerülnek olyan kérdések: egy vagy sok megoldás létezik-e, illetve hogyan lehet ezeket megtalálni.

Igen, bizonyos esetekben igaz lehet, hogy csak egy megoldás létezik, például ha azt az egyszámjegyű természetes számok körében keressük.

Elég közismert a helyzet, ha megoldásokat a természetes számok körében. Ezzel az érdekes és szinte szórakoztató témával – távolról sem elsőként – a híres Püthagorasz is foglalkozott, ezért a hálás utókor pitagoraszi számhármasoknak nevezi a fenti egyenlet természetes számokból álló megoldásait

Itt meg kell egyezni azt, hogy megoldást keresve, nem feladatunk három számot találni. A megoldáshoz elegendő megtalálni a három keresett számból (a, b, c) bármely kettőt. A harmadik egyértelműen kiszámítható a kettőből. Ez ebben a témakörben különböző speciális feladattípusokat eredményez, mint például az, hogy egy adott „érdekes” számról megkérdezzük, hogy felírható-e két négyzet összegeként, esetleg azt, hogy hányféleképpen.

De lássuk végre, mi hozott össze minket ma!

A kérdés az, hogy létezik-e megoldása a fenti egyenletnek az egyiptomi törtek körében? (egyiptomi törtnek a természetes számok inverzeit, az 1/n típusú számok.) Vagyis a következő egyenlet megoldásai érdekelnek:

1/a² + 1/b² = 1/c²

Azonnal látjuk, hogy a „klasszikus” pitagoraszi hármas, a 3, 4, 5 itt semmilyen felállásban nem kínál megoldást, de még egyenként sem vezetnek eredményhez.

Egy fogós diofantoszi egyenletet kapunk. „Első ránézésre” sejthető, hogy akad megoldás, de néhány összefüggésen túl. amelyre visszatérek, megoldó képletet nem találtam, ezért türelmetlenségemben kiléptem a szent matematikából, és átmentem a nem kevésbé szent programozásba. Egy kis python-program percek alatt összegyűjtötte nekem azokat a megoldásokat, ahol a és b kisebb 10 000.

Éppen 666 lett. Érdekes. Remélem, senki nem babonás.

Itt a trónkövetelő, amely Püthagorasz „klasszikus” 3²+4²=5² helyére lép:

1/15² + 1/20² = 1/12²

Más érdekesség az, hogy a 666 megoldás között 42 megoldáspárban az „a” értékhez különböző „b” értékek akadnak. Például:

195, 260, 156

195, 468, 180

A „b” (vagyis a nagyobb) esetében érték megoldás között már 50 megoldáspár van azonos „b” értékkel, és egy olyan megoldáshármas, amikor ugyanaz a helyzet:

2275, 7800, 2184

3250, 7800, 3000

5850, 7800 , 680

A „c” érték esetében a helyzet már egészen „drámai”. 164 megoldáspár, 25 megoldáshármas, 15 megoldásnégyes, egy megoldásötös, két megoldáshatos és egy megoldáshetes is akad. Ezt úgy is lehet mondani, hogy egy bizonyos egyiptomi tört (2520) négyzete hét különböző módon állítható fel két egyiptomi tört négyzetének összegeként:

2625, 9000, 2520

2664, 7770, 2520

2730, 6552, 2520

2856, 5355, 2520

2968, 4770, 2520

3150, 4200, 2520

3480, 3654, 2520

(Csak csendben megjegyzem: 2520 = 7Í360. Foszlik Ozirisz titkait takaró lepel.)

Még egy érdekesség: éppen a kutatási terület határán a python két olyan megoldást talált, ahol két szomszédos szám szerepel:

2020, 9999, 1980

7500, 10000, 6000

A vizsgált megoldásokat nyilvánvalóan nem nevezhetjük pitagoraszi számhármasoknak, inkább az EDP-számhármas megnevezést javasolnám, ahol a betűk jelentése: egyiptomi, diofantoszi, pitagoraszi.

 

 

* * *