Van-e
megoldása az
a2 + b2 = c2
egyenletnek?
Nyilvánvalóan a válasz attól függ, hogy hol keressük a megoldást. Például a
páratlan természetes számok körében nincs megoldás.
Más esetekben ismeretesek vagy találhatók megoldások, de akkor felmerülnek
olyan kérdések: egy vagy sok megoldás létezik-e, illetve hogyan lehet ezeket
megtalálni.
Igen, bizonyos esetekben igaz lehet, hogy csak egy megoldás létezik,
például ha azt az egyszámjegyű természetes számok körében keressük.
Elég közismert a helyzet, ha megoldásokat a természetes számok körében.
Ezzel az érdekes és szinte szórakoztató témával – távolról sem elsőként – a
híres Püthagorasz is foglalkozott, ezért a hálás utókor pitagoraszi
számhármasoknak nevezi a fenti egyenlet természetes számokból álló megoldásait
Itt meg kell egyezni azt, hogy megoldást keresve, nem feladatunk három
számot találni. A megoldáshoz elegendő megtalálni a három keresett számból (a,
b, c) bármely kettőt. A harmadik egyértelműen kiszámítható a kettőből. Ez ebben
a témakörben különböző speciális feladattípusokat eredményez, mint például az,
hogy egy adott „érdekes” számról megkérdezzük, hogy felírható-e két négyzet
összegeként, esetleg azt, hogy hányféleképpen.
De lássuk végre, mi hozott össze minket ma!
A kérdés az, hogy létezik-e megoldása a fenti egyenletnek az egyiptomi
törtek körében? (egyiptomi törtnek a természetes számok inverzeit, az 1/n
típusú számok.) Vagyis a következő egyenlet megoldásai érdekelnek:
1/a2 + 1/b2 = 1/c2
Azonnal látjuk, hogy a „klasszikus” pitagoraszi hármas, a 3, 4, 5 itt
semmilyen felállásban nem kínál megoldást, de még egyenként sem vezetnek
eredményhez.
Egy fogós diofantoszi egyenletet kapunk. „Első ránézésre” sejthető, hogy
akad megoldás, de néhány összefüggésen túl. amelyre visszatérek, megoldó
képletet nem találtam, ezért türelmetlenségemben kiléptem a szent
matematikából, és átmentem a nem kevésbé szent programozásba. Egy kis
python-program percek alatt összegyűjtötte nekem azokat a megoldásokat, ahol a
és b kisebb 10 000.
Éppen 666 lett. Érdekes. Remélem, senki nem babonás.
Itt a trónkövetelő, amely Püthagorasz „klasszikus” 32+42=52
helyére lép:
1/152 + 1/202 = 1/122
Más érdekesség az, hogy a 666 megoldás között 42 megoldáspárban az „a”
értékhez különböző „b” értékek akadnak. Például:
195, 260, 156
195, 468, 180
A „b” (vagyis a nagyobb) esetében érték megoldás között már 50 megoldáspár
van azonos „b” értékkel, és egy olyan megoldáshármas, amikor ugyanaz a helyzet:
2275, 7800, 2184
3250, 7800, 3000
5850, 7800 , 680
A „c” érték esetében a helyzet már egészen „drámai”. 164 megoldáspár, 25
megoldáshármas, 15 megoldásnégyes, egy megoldásötös, két megoldáshatos és egy
megoldáshetes is akad. Ezt úgy is lehet mondani, hogy egy bizonyos egyiptomi
tört (2520) négyzete hét különböző módon állítható fel két egyiptomi tört
négyzetének összegeként:
2625, 9000, 2520
2664, 7770, 2520
2730, 6552, 2520
2856, 5355, 2520
2968, 4770, 2520
3150, 4200, 2520
3480, 3654, 2520
(Csak csendben megjegyzem: 2520 = 7Í360. Foszlik Ozirisz
titkait takaró lepel.)
Még egy érdekesség: éppen a kutatási terület határán a python két olyan
megoldást talált, ahol két szomszédos szám szerepel:
2020, 9999, 1980
7500, 10000, 6000
A
vizsgált megoldásokat nyilvánvalóan nem nevezhetjük pitagoraszi
számhármasoknak, inkább az EDP-számhármas megnevezést javasolnám, ahol a betűk
jelentése: egyiptomi, diofantoszi, pitagoraszi.
*
* *
